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eboiiliMiicnls siiccessifs el des raviiiemeiits out etendii leiir base 

 aiix depens de leiir hauteur. 



Analyse algebrique. — M. Wanlzd communi()ue une note 

 sur les nombres iucommensnrables d'origine algebrique. 



Plusieurs geonielres se sonl occupes de deinontrer I'irapossi- 

 bilite de resoudre les equations de degre superieur au 5" par unc 

 succession de radicaux. Mais ces demonstrations ne sont relatives 

 qu'aux ei|uationsgeneraies de chaque degre, ct ne prouvent plus 

 ricMi lorsqu'il s'agit d'equations numeriques particulieres. Dans ce 

 cas la resolution par radicaux serail mcme illusoire si les raciaes 

 a extraire portent sur desquantites imaginaires. 



Prenons pour exemplele cas irreductible dans les equations du 

 3^^ degre. Les racines toutes reeiles peuvent s'exprimer par des 

 racines cubiques de quautites imaginaires, mais on ne pent pas 

 les obtcuir numeriquemeul jiar ces forniules. Est-il possible de les 

 representor par des extractions de racines effecluees sur des 

 quantites reeiles? telle est la question que M. Wantzel a resolue 

 negalivement. 



Pour y parvenir, supposons qu'une racine d'une equation tr- 

 reduclible du y degre soil exprimable par une fonction de radi- 

 caux do w espece, en adoplani la classification d'Abel. On aura : 



a; = a -\- p -\- bjr^ -j-.... //)""', ;j" - q, 



ou rt, b, I representent des quantites radicales den — 1" espece, el 

 71 un nombre premier. Comrae I'equation j)"= </ est irreduc- 

 tible (1), si Ton remplaco p par chacune des racines de cette 

 equation, on aura des racines doTequation proposee, el les resul- 

 tals seront differrnts ; il faut done que n ne soil pas superieur a 3. 

 Sin-^ 3, p s'exprimcra rationnellement au moyen des racines 

 de la proposee el des racines cubiques de I'unile, en sorle que Ton 

 aura p = .r -)- « Xi -j- ofi xt , iiuantite qui ne peul etre reelle, 

 comme on le suppo^ie, a moins que iCi = a?2 , ce qui n'est pas pos- 

 sible, puisque I'equation proposee est irreductible. 



(1) Al)el I'a (16nionlr(5' sous ie point de vue algebrique; la d^monsiralion 

 poui k' cas luuneiique se Irouve dans une note que M. Wantzel a inser^edans 

 If JournnI de PRcolc PolylechniqiiP, XXV'' caliier. 



