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Seance du 11 novemb'relSM, 



M. Catalan communique les recherches suivantes sur quel' 

 quesproprietes dc t'heiicoide a plan d'lreetenr . ■■ 



t>i Ton prend pour axe des z I'axe du cylindre sur lefjttel est 

 tracee Ihelice directrice , et si Ton cliqisit uae unite convena- 

 ble , Tequation de I'heliQrii^'iJe pourra e^riS mise sous la forme ; 



z :=: arc. tang '— (1) 



Generalement , la determination de la Ii»ne minimum entre 

 deux points , sur une surface quelconque , est un problenie 

 insoluble : pour I'helicoide , il sesi uplifie consideraijlement. 



En elfet, en prenant des coord. innees polaires n et w , et 

 posant u rr King, v, on trouve d'abord , pour integrale pre- 

 miere de Tequation dilTerenlielle du second ordre qui repre- 

 sente la projection de la courbe chercljee , 



dV ni.iU. 



K Sin V -j- c 

 - c etant la constante arbitraire. 



Cette formule ne peut etre inte»ree sous forme iinie que 

 dans le cas de c rz o. Elle donne alors , pour la projection de 

 laiigne minimum, 



1 = I (e" - e-^) (5) 



Selon que la constante c est posiiive ou ne'jjative, I'eq'ja- 

 tion (2) represente des courbes fort di'feientes entre elles, que 

 Ton peut construire a I'aide des tables eliiptiqucsl*'^'*^^! ' 



La course minimum representee par I'equaiion (3) peut etre 

 regardee comme intermediaire entre les courbes des tieux au- 

 tres ffenres : elle a une liaison rem;iri]uable avec les lignes de 

 couibuie de I'h^Iicoide, lesquelles sont representees par I'e- 

 quaiion 



+ M=i(e"--e-") (4) 



Eriflft-, «i Ton cherche quelle est , sur rhellgoiJe, la ligne de 

 Extrsutde L'Institut, I'e section, 1843. 15 



