Die Entwicklung nach Bernoullťschen Functionen. 3 



Durch Vertauschiing von Bv(^) mit s^ in der /?-Reilie (1) ent- 

 steht eine Potenzreihe 



fiir welchtí 



lim Q' Wm -^ =, ,f- Ynn ^r -V^ ... (7) 



ist. wornns man ersieht, dass clic Convorgenzliodinguiigen fiii- P sich 

 iiiígleicli giinstiger als ])ei der B-Eeihe gostalteii. 



Linter der Aunahme, aass "< — oiiicii hestinunten. Gren^icert 



hat^ soli iiun iiiitersuelit werden, wie dic Tícilie P beschaťfen sein 

 muss, damit lim ^n ^ 1 wird. 



Wird zuer.st vorausgesetzt, dass P nur ťiir eiii heschnínUes 

 Wertgebiet von z cunvergiert, so ist 



lim — — ~-r — ji— 

 n{n 4- 1) A 



ein(> Omstante ^(>, wofiir aber lim '^,>,, cino miendlíclie Gťésse ^iceiter 

 Ordnung wird. 



Convergiert 7' fíir jedeš ^, so wird die Bodingnng lim Q'^ -^ 1 

 '■ schon erfiillt, wenn lim —7- -- einc unemlliche Grosse erster Ordnung 



ist. wofiir lim <ln nocli innner unendlicli wird. Erst wenn lim — /-^ 

 eine Constante, ist die Moglichkeit des Convergierens vorlianden ; ťiir 



hm —. =: O 



An-\ 



tritt bestimmt Convergenz ein. 



Der Vergleich beider Reihen ergieV)t dalier folgendcs: 



„ Vorheditigimg fiir die Convergenz einer nach den BernoidWschen 



Av 



FuHcťwmn B fortschreitenden Reihe S — -{z).heiioelcJierli)n A,t-\-\: A,^^ 



v 



1 



besteht, ist das hestdndiffe Convcrgieren der aus dcrselben durch Ver- 

 tamchung der Bv^z) tnit 3" hervorgehenden Peihe P." 



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