Die Entwickkmg nach Bernoulli'scheu Fimctioneu. 45 



X. 



Zahlentheoretische Entwickiungen.^) 



Ausser diesen Entwicklungen stetiger Fuiictionen giebt es aiicli 

 eiuige bemerkenswerthe llelationeii, bei welchen die ArguiihMito der 

 i?-Reihe die zalilcntlieoydÍHchen Fundionen \ x \ nnd \x\ siud. 



I X I bezeichiiot eineii echfcn Bruch (die Nulle inbegriffeii), 

 welcher entwcMler 211 x addirf oder von x suUraMrt werden muss, 

 um eiue yanse Zalil zu erhalten; 



[x\ stellt die Meinste Zalil vor, welche su x addirf oder von x 

 subtrahirf werden muss, iim oine (janse Zalil zu bekommen. 



Mit Hilfe der arithmetischeii Fuiiction O ^ ] a; <; 1 ist man nun 

 iiii Stande die Summeii nachstoheuder trigonometrischer Reilien tur 

 Jeden Wert des Argumentes anzugeben, u. zw. ist 



V^ cos 27tvs ,- ., , í^jr)-" „ . , , ,-, _-. 



v=l,2,... "^^"^ ''■ 



00 ■< 



a=l, 2, ... 



vS siii2:ri^2 ,, £(2:r)2«-i ^ „ , 



rrrl. 2, . . . ^ '^ 



wo e ~ -j- 1, wemi z — 1 1 , und £ — ~ 1, wenn ^ -|~ I ^ i ^"i^ ganze 

 Žahl ist. 



Diese Formelu konnen auf mehrfache Art weiter umgeformt 

 werden. 



Setzt man statt s der Reihe nach 3, 2-s, 3^, . . . in intin., 

 multipliciert jede der erhaltenen Gleichungen mit 



y(l) qp(2) ^3) 



pn ' 22h ' 32« ' ' ' 



resp. mit 



(pil) y(2) y(3) 



1 2«— 1 ' w>2«— 1 ' ÍÍ2)|— 1 1 • ' • í 



') Darstellungenzalileu tlieoretischer Functioiieii iiiittels der B wurden 

 Tom Yerfasser bereits in seineu Aufsátzen „Uber PriinzaJdimgcn'' Prag, Ber. Formel 

 (2), (10) uiul „Reihenswinmirunfjen mittels hestimmter LdegvaW^ Trag, Ber. 1895. 

 Formel (49) (50) (51) (52) gegeben. 



