^^ XXXI. Franz Eogel: 



,,Die Entivickhmg von /(x^Jc) nach den B ist unbeschrdnkt 

 diferensirhar, ivenn es die Potenzreihe fůr diese Function ist und der 

 Limes des Festgliedes bei Vertauschung von f mit einer beliebigen Ab- 



leitung /^''^ verschtvindet. 



' Eine ausreichende — nicht notwendige Bedingung fůr die 

 imbeschrdnUe DifferenUirbarheit und IntegrirbarJceit einer Reihe 



2x-;^'« 



ist 



lim J-, < 4;rl 



Auf diese Thatsachen stiitzt sicli eine fůnfte Entwicklungs- 

 metliode. 



Gesetzt, es sei 



f{x -i- 10 =5 -^ BM\ u=~.... i®) 



eine Entwicldung, von deren unbeschríinkten Differenzirbarkeit man 

 sich anf irgend eine Art iiberzeugt hat, so folgt aiis der (v — l)-fachen 

 Diflerentiation beziiglich x von {®) mit Beniitzuug der Relation 



X^=h 



.'=0 \ '' 



I O, 



A^v-l, 



welche sicli darauf stiitzt, dass alle B^, (w), v^l, dieWurzel ^ — 0, 

 und u = l haben, wáhrend B^ (u) nur die Wurzel ^ ~0 besitzt, das be- 

 kannte Ergebnis 



A, = A^-i [/(— 1) (k + h)- /(^-i) (Je)]. = hy-^j,_^. 



VI. 



Verallgemeinerung der Boole'schen Entwicklung. 



Wird in (IC) I mit x vertausclit, so entsteht eine Darstellung 

 von f{x -\- k) durcli die aufeinanderfolgenden Derivirten von f{x -f h) 



