2 XXXIX. Michel Petrowitcli: 



I. Pouf les valeurs de x, comprises dans Vinterrale {O, a) elle 

 est positive ct constaniment croissante , mais reste inférieure a f^{s). 



Car, ďabord, y ne peut par commencer par decroitre dans cet 

 intervale, puis(iu'alors elle serait negative et par suitě les difterences 



y — /i , y —fi 



ďu 

 seraient négatives et la derivée -j- positive. 



Si aucune des ťonctions í\ et /^ ne s'annule poiir a; m O, on 

 aurait poiir cettc valeur de x et pour y ^=-0 



et cette valeur étant positive, Fintegrale y, s'annulant pour x =:z O, croit 

 a partir de x=zO et par consequent reste positive. Tant que ^<C/u 

 elle est constamment croissante, car on a eu méme temps y<Zfi, et la 

 derivée «/' est positive. Or, en croissant, elle ne peut pas surpasser 

 ni atteindre la valeur correspondante de la fonction ý\{x) , car 

 aussitót qu'elle aurait surpassé la valeur ý\{x , elle devrait decroitre, 

 la derivée y^ se trouvant alors negative, puisque y —ý\ > O, y — /, <.0. 

 Mais aussitót qu'elle aurait commencé a decroitre, elle aurait descen- 

 due audessous de fi(x), et par consequent, la derivée y^ devenant 

 positive, devrait de nouveau croitre ect., ce qui démontre la pro- 

 position. 



Si fi(x) s'annule pour cc =: O, avec /^(x) =^0, y commencera 

 par cróitre á partir de a; =: O, mais en croissant elle restera infé- 

 rieure á /i(5c), car s'ií n'en était pas ainsi, pour des valeurs suffi- 

 samment petites de x on aurait 



ž/-/i>o, y~f,<o- 



la derivée y'^ serait negative et Fintegrale y decroitrait, ce qui n'est 

 pas possible. Tant que y<l.f-i^-, y est constamment croissimte. Or, on 

 s'assure comme précédemment que y ne peut atteindre la valeur 

 f^{x) dans Fintervale (O, ai. Elle sera donc constamment croissante 

 dans cet intervale et inférieure a/, (a). 



Remarquons que si la courbe 



y—fA^) 



