6 LXIl. Frauz Rogcl : 



„Nach Euler-sohen Functionen erster oder nach solchen zweitei^ 

 Árt fortschreitende Reihen 



hei luelchen lim " existirt, convergieren — tmd dann bestd 



clig — unter der nothivendigen, nicht hinreichenden Bedin- 

 gung^ dass die durch Vertauschung von Fnix) mit ac" hervorgehende 

 Reihe bestdndíg convergiertJ' 



Bedenkt man, dass obgenannte Reihe P mit der Taylor'schen 

 Entwicklung von E^f{x -{- k) simultan convergiert oder divergiert, 

 so liisst sich ferner noch behaupten: 



„Die Enfivicklung einer Function f{x -\-h) in eine F- Reihe, hei 



welcher lim -p— existierf, convergiert — imd dann bestdndig — 



unter der nothwendigen , iiielit Mureicltenden Bedingung der 

 hestdndigeíí Convergenz der Poten^reihe Júr f{x --\- k)''. 



Fiii" die gleichmássige Conoergenz einer F I ^^ I -Reihe ist Vorbe- 



dingung jene der P-Reihe. 



Um hiefiir ein ausreichendesKiiterium zu gewinnen, ersetze man 



in R alle Fly-jdurch die nmmnerisch grossten Werte, welche F 



fíir alle x von - h bis -f h annimmt. Convergiert diese Reihe in 

 diesem lutervalle, so ist bekaniitlich gleichmássige Convergens der 

 Reihe R vorhanden. 



Man íiudet auf diese Weise 



A<(|)" . . .(13) 



fiii' E- und E'-Reihen als ausreichende Bedingting íůr úie gleichmássige 

 Convergens derselben (vergl. Formel [135]), welche dann znfolge der 

 Formeln [IG] und [20] und der gleichmássigen und bestdndiqen Con- 

 vergenz der 7^-Reihe fiir alle - co <^ x <^ ^ co besteht. 



ii) 



