Die ultraelliptischen Curven C" j? > 1. 5 



„Eiiie irreclucible Cp ist stets ultracUiptiscli^ ivenn melir als eine 

 adj. C"-^—^ vorhanden ř5#." 



Beweis. Es ware zu zeigen, dass auf C^^ eine g^k^ besteht : Nun 

 schneidet C^-^-^ die Grundcurve in h{n — h — 1) — á — h Puncten. 

 Gingen durch solclie h Puncte noch unendlich viele C" ''-=*, so wáre 

 C^„ reducibel. Soinit folgt, dass die -C"-^-! entweder eine g^^ aus Cp^ 

 schneiden, oder g^^^^^. Letzteres ist aber deshalb niclit mogiich, weil 

 ja adjungirte C-h-'^ vorkommen. Man sieht zugleich, dass hóchstens 

 oo^ adjungirte C'*-*-^ existiren konnen. 



b) Po-^+ 2 ^--^- 



entsprechend 



. kin — k — 2) —I 



d — —^ i ; ít — 1. 



Hier ist immer ^ť^ (.l^, mit der einzigen Ausnahme /fc — 3,w = 6 : 

 Denn 



z. , A (2-70 {n — k — 2) + 3 



Also 



i ^2-h){n-k- 2)^\^ 

 ^o—í— 2 '^^' 



je uachdem ^ = 3, w = 6 ; oder fc > 3, n^k-\-2. 



Beispiele. I . Der Ausnahmefall /í r=: 3, w = 6, p\, = 6. Cl muss, 

 weil n :=z 2Jc ist, als Trigonalcurve einen 3-íachen Punct V haben, 

 und einen Doppelpunct D, wegen j; zt. G. Die oo^C'^ bestehen aus der 

 festen Geraden VD. und einem beweglichen Strahl von V. 



Es ist 



í* = í*o = 1- 



2. fc — 3, n — 2v -{-2, v > 1. Es wird p'^—v-{- 4. Jetzt hat 

 man : 



„Wenn (7^T"t'^ ausser einem 2 v 4- 2 — 3 = 2v — 1-fachen Punct 



V noch v — 2 dreifache Puncte V und einen Doppelpunct D besitzt, 

 so ist die Curve ultraelliptisch." 



Denn es gibt oo^ adj. C''-'—^^eiC^'^~^, bestehend aus den dop- 



