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 l'équation est 



(i) j' =xz + cz- + bz^ -\- az\ 



est représentée, d'une manière très-expressive, par un ])lan coté à lignes de 

 niveau droites, que l'on obtient en donnant à r, dans l'équation (i), des 

 valeurs successives, positives ou négatives, de dixième en dixième, d'unité 

 en unité, etc., .... La résolution de l'équation numérique (i), mise sous la 

 forme 



F = az'' -h bz? + cz^ -h dz — e = o, 



se déduira de l'inspection même du plan coté dans lequel on entrera par 

 les coordonnées x = d, y = e. L'ensemble des droites cotées correspon- 

 dant aux diverses valeurs de z décrit une enveloppe dont l'équation est 

 D= o, D étant le discriminant de F, dans lequel on aura remplacé d par 

 X et e parj;'; x s'y trouve au quatrième et j^au troisième degré. 



» Dans le cas général du quatrième degré, cette enveloppe présente deux 

 points de rebroussement,un point double, et par conséquent trois branches 

 distinctes. Il y a une je'jy/oncéîî/ra/eGo, dans laquelle à tout système de valeurs 

 de X et de y correspondent quatre racines réelles ; une région extérieureG, , 

 où l'on n'a plus que deux racines réelles; enfin une région intermédiaire Gj, 

 formée par l'angle des deux branches de courbe qui vont en divergeant à 

 partir du point double, et dans laquelle il n'y a plus que des racines imagi- 

 naires {Comptes rendus, t. LXXXI, p. 1186 et 1243, t. LXXXII, p. 1487). 



)) Il y a certainement de l'analogie entre ce partage d'un espace plan en 

 diverses régions suivant le nombre des couples des racines imaginaires et 

 l'exemple donné par M. Rronecker. Mais, en examinant la question de plus 

 près, on ne tarde pas à reconnaître que la ressemblance est plus apparente 

 que réelle. La courbe enveloppe que j'ai nommée sotulive (vous auriez 

 préféré l'expression de discriminante) joue certainement un rôle de sépa- 

 ration analogue à celui de la surface discriminante de M. Rronecker. Mais 

 d'abord il semble bien que l'exemple choisi par l'illustre géomètre l'a été 

 seulement pour donner un caractère concret à des considérations d'une 

 nature abstraite, d'un ordre très-élevé; et que, eu égard à la nature des 

 variables adoptées, parmi lesquelles ne se trouve pas l'inconnue de l'équa- 

 tion à résoudre, cet exemple n'aurait pas d'analogue pour une équation 

 complète d'un degré supérieur au quatrième. Le mode de résolution que j'ai 

 proposé, au contraire, si éloigné des hautes spéculations analytiques qui 



