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tenir des identités de la forme des équations (i) et (2, je prends d'abord, 

 pour équations données, les équations binômes 



'E-' -h a =^ o, 2* + a = o, 



qui correspondent respectivement aux équations [i) et (2). Mais cela ne 

 suffit pas encore pour que les deux identités aient la forme voulue : il faut 

 encore rendre nuls les coefficients de deux termes, en résolvant deux équa- 

 tions par rajjport à deux des indéterminées introduites dans le calcul. Or, 

 les valeurs des indéterminées devant être rationnelles et les équations étant 

 du second degré, au moins par rapport à Tune des indéterminées, il semble 

 que la méthode n'est pas applicable. Mais, en faisant figurer a parmi les 

 indéterminées, et c'est là l'idée principale de mon travail, on a à résoudre 

 deux équations du premier degré par rapport à deux indéterminées, et 

 l'on est ainsi conduit aux deux identités 



(3) 



(4) 



— xj{x-^j) [3(x- + x;- + 7-)]-', 



/ [y- 4- 2^7- — x^ y + [:2X +j)x-y[-2y -+- do:)* 

 ( = [x'' +j'' + lox'- r'^ + [\xy'^ -\- I nx'^y)-. 



» La première identité a été donnée, dans ces derniers temps, par M. E. 

 Lucas, qui y est arrivé i)ar une autre voie; mais la seconde identité est 

 nouvelle, et elle met en évidence le théorème suivant: 



M L' équation (2) j)eul loajotiis étic résolue en nombres entiers lorsque a 

 est de l'une des deux jormes [2 x -\- y) X' y ou 2.x- + y' [pour arriver an 

 dernier énoncé, on chancre, dans l' identité {/[), x eux'- cf 7 chj'*]. L'identité (Z|) 

 ne donne, il est vrai, qu'une solution ; mais Euler a lait connaître des 

 foruudes qui permettent de trouver une infinité de solutions de l'équa- 

 tion (2), lorsqu'on en connaît une seule. Du re^te, les formules d'Euler 

 se déduisent très-naturellement de notre méthode. 



» En cherchant à appliquer la méthode aux équations 



(5) x'' +aj'' —z\ 



(6) x' + ay'' z,^ z\ 



on voit qu'elle ne peut réussir qu'en supposant l'une des indéterminées 

 nulle ; mais alors les autres indéterminées disparaissent comme facteurs 



