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 accord parfait sans qu'il y ait eu occasion d'introduire, dans l'une ou 

 l'autre, un changement numérique quelconque, preuve satisfaisante de 

 l'exactitude des résultats et, en même temps, de l'habileté très-peu com- 

 mune du calculateur (M. Franklin), qui, par son dévouement conscien- 

 cieux et opiniâtre à ce long et pénible travail, a rendu un véritable service 

 au progrès de la science algébrique. 



» Ce qui ajoute considérablement à la difficulté du travail est la cir- 

 constance suivante, qui est assez intéressante eu elle-même pour que je la 

 cite ici. En faisant la décomposition en fractions partielles de la généra- 

 trice primitive, on trouvera contenus, dans les coefticients de celles mêmes 



qu'on doit conserver, les facteurs ,» :■> .r ^ -, lesquels 



ne doivent et ne peuvent pas paraître dans la fraction canonique, de sorte 

 qu'on sait d'avance que ? — "-, i — -'', i'-' — t% t'' — t' seront diviseurs 

 exacts du numérateur de la fraction qui conduit à la fraction canonique. 

 C'est, en effet, un théorème général que (quel que soit le nombre des 

 quantics donnés), le dénominateur de la fraction génératrice canonique 

 ne peut jamais contenir des facteurs où les lettres prises avec des expo- 

 sants positifs sont distribuées entre deux groupes. 



» Toujours des facteurs de cette forme se présenteront dans le cours du 

 calcul; mais, à la fin, quand toutes les sommations auront été effectuées, ils 

 doivent nécessairement disparaître par voie de division dans le numéra- 

 teur. Sans cette propriété, qu'on peut démontrer a priori, une théorie de 

 la fonction génératrice pour des systèmes de quantics binaires aurait été 

 impossible ou tout à fait inutile. 



)) En ajoutant aux fractions canoniques que j'ai déjà données dans les 

 Comptes rendus celle qui appartient à deux quadratiques, c'est-à-dire 



1 — iTtÛ 



on voit qu'on est à présent en possession des génératrices canoniques pour 

 tous les systèmes binaires qui proviennent des combinaisons deux à deux 

 des ordres 2, 3, 4, c'est-à-dire 2.2, 2.3, 2.4, 3.3, 3.4, 44 ; et en ajoutant 

 les génératrices déjà connues pour les quantics linéaires, quadratiques, 

 cubiques et biquadratiques, pris séparément, à celles que j'ai données 

 dans les Comptes rendus pour les quantics des ordres 5, 6, 8, on aura de 

 même les génératrices appartenant aux quantics pris séparément d'un ordre 

 quelconque, compris entre les limites 1 et 8, avec l'exception de 7, lequel 



