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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les covariants desjormes binaires. 

 Note de M. C. Jordan. 



« On sait, par les beaux travaux de M. Gordan, que les covariants d'un 

 système de formes binaires s'expriment en fonction entière d'un nombre 

 limité d'entre eux. 



» La détermination effective de cette limite constitue néanmoins un pro- 

 blème assez difficile. Dans un premier essai sur ce sujet, publié en 1876, 

 nous avons donné une formule récurrente qui fournit une première solu- 

 tion de cette question; mais la limite qui s'en déduit est beaucoup trop 

 élevée. 



» La nouvelle solution que nous présentons aujourd'hui est fondée sur 

 les mêmes principes que la précédente, mais présente sur elle un progrès 

 marqué. 



» Soit a, h, c, . . ., f, g, . . . un système de formes en nombre quel- 

 conque, mais d'ordre =N, dont on demande les covariants. 



» Formons la suite des entiers décroissants 



N,N,=E(|N), N, =E(fN), ..., 



E(j:) désignant le plus grand entier contenu dans x; soit Np le premier 

 terme de la suite qui ne surpasse pas 4- 



» Soient a, b, c, . . . celles des formes du système dont l'ordre sur- 

 passe N, •/, g, ■ ■ ■ les autres. 



» Soient f, 9', • • . ceux des covariants de a, b, c. . . du second ou du 

 troisième degré dans les coefficients, et dont l'ordre, par rapport aux va- 

 riables, ne surpasse pas N,. 



>) Soient, de même, a', b', c\ . . . celles des formes du systèmeyj g, . ., 

 cp, cp', . . ■ dont l'ordre >-N2; /', g , ... les autres. Nous désignerons par 

 (p,, çi',, ... les covariants de a', b', c', ... du second ou du troisième 

 degré, mais d'ordre ^Nj. 



» Soient encore a", //', c",.. . celles des formes y, g', . . ., œ,, o', , ... 

 dont l'ordre ^N. : nous construirons ceux de leurs covariants ç.^ 'f\^. . . . 

 dont le degré est 2 ou 3 et dont l'ordre est ^N,; 



» Et ainsi de suite. 



» Cela posé, nous établissons le lemme suivant : 



Lemme. — Tout covariant de a, A, c, ... ,y, g, . . . résulte de la compo- 



