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 COURESPONDANCE. 



GÉOMÉTRIE. — Sur les surfaces orlhorjonnles. Note de M. de Tii.ly. 



« Les observations qui suivent m'ont été suggérées par une Note de 

 M. Catalan, insérée dans les Comptes r«if/i/s (6 juillet 1874), où l'auteur 

 cherche les surfaces 1, et 2o qui, avec les surfaces données S, forment un 

 système orthogonal triple. 



» Si les deux surfaces S, et Sn sont orthogonales entre elles et à toutes 

 les surfaces S, il est clair que les séries de sin-faces 2^,, 2,, respectivement 

 tangentes à S, et à So le long de la courbe d'intersection de ces deux der- 

 nières surfaces, forment avec la série S un système orthogonal triple; mais 

 c'est un système en quelque sorte secondaire^ parce que les trièdres trirec- 

 tangles formés par les trois séries de surfaces orthogonales ont tons leurs 

 sommets sur une même ligne. 



» Si l'on exclut les solutions de ce genre, ha méthode contenue dans les 

 deux premiers paragraphes de la Note de M. Catalan permet de trouver 

 tous les autres systèmes orthogonaux. 



» Mais, d'une part, cette méthode semble susceptible d'un mode d'ap- 

 plication tout différent de celui cpii est développé dans les paragraphes 

 subséquents de la même Note; et, d'autre part, il n'est pas nécessaire 

 d'exclure des solutions. Après avoir posé l'équation (5), on peut pour- 

 suivre ainsi : 



» Supposons que, dans cette équation, jc et j" aient été remplacés par 

 leurs valeiu's en a, /3 et 2, au moyen des équations connues (3). Admettons, 

 de plus, que, dans ij;' et dans tt', les constantes arbitraires de t|; et de n soient 

 censées éliminées, respectivement, au moyen des équations inconnues 



a = d;(/3), « = 7:(/3). 



» Alors l'équation (5) ne contiendrait plus que a, /3 et z, si i|^'et n' (fonc- 

 tions de a et de /3) étaient connues. 



» Mais le lieu des sommets doit comprendre au moins une trajectoire 

 orthogonale des surfaces S, le long de laquelle a et /3 sont constants, tan- 

 dis que z est arbitraire. 



» Différentiant donc l'équation (5), autant de (ois que l'on voudra, par 

 rapport à r, on aura une suite d'équations, qui devront être compatibles si 



C. R., 187S, 2° Semescre. (T. LXXXVll, N" 9.) 49 



