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 on aura, après avoir divisé par f'"-, une équation du second degré en p, 



p-9„_2(cosw,sin w) -+- p^pn-i (cosoj,sin w) + R^ y„_3(cos w,sin w) = o, 



dans laquelle le produit des racines est égal à R% quel que soit w. La même 

 chose aurait évidemment lieu pour une surface de degré n, ayant à l'ori- 

 gine un point multiple d'ordre n — -i, passant une fois par le cercle de 

 l'infini, et dont l'autre courbe (de degré ?i — 2) à l'infini serait la courbe à 

 l'infini du cône tangent au point multiple. S'il s'agit d'une courbe, le cercle 

 de transformation passera nécessairement par les points de contact des 

 tangentes menées à la courbe par le point multiple; s'il s'agit d'une surface, 

 la sphère de transformation passera par la courbe de contact du cône cir- 

 conscrit à la surface, ayant pour sommet le point multiple. On en conclut 

 les théorèmes suivants : 



M Théorème I. — Toute courbe de degré n, ayant un point multiple 

 d'ordre n — 2, passant une fois par les points cycliques et dont les « — 2 autres 

 points à l'infini sont respectivement sur les n — 2 tangentes au point multiple, 

 est anallagmalique par rapport à un cercle ayant pour centre le point multiple, 

 et passant par les points de contact des i[n — i) tangentes menées par ce point 

 à la courbe. 



» THÉORÎiME II. — Toute surface de degré n ayant un point multiple d'ordre 

 n — 2, passant une fois par le cercle de l'infini, et dont l'autre courbe à l'infini 

 est la courbe à l'infini du cône tangent au point multiple, est anallagmaticpie par 

 rapport à une sphère ajanl pour centre le point multiple, et passant par la courbe 

 de contact du cône de degré 2 [ti — i) circonscrit à la surface par le point mul- 

 tiple. 



» De là, par une transformation homographique, on peut conclure des 

 propriétés intéressantes des courbes de degré n à point multiple d'ordre 

 n — 2. dont les points d'intersection avec les tangentes au point mul- 

 tiple sont en ligne droite; et des surfaces de degré m, à point multiple 

 d'ordre fi — 2, dont la courbe d'intersection avec le cône tangent au point 

 multiple est plane. 



» Si, dans les théorèmes précédents, on fait n = 2, on obtient toutes 

 les courbes et surfaces anallagmatiques du second degré qui sont tous les 

 cercles du plan et toutes les sphères de l'espace, par rapport à toute cir- 

 conférence ou à toute sphère orthogonale. Si l'on fait n = 3, on obtient 

 toutes les courbes et surfaces anallagmatiques du troisième degré déjà étu- 



