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 diées, qui sont les cubiques circulaires, par rapport à des cercles ou à des 

 sphères ayant pour centre l'un des points de contact des tangentes ou 

 plans tangents menés parallèlement à l'asymptote ou au plan asymptote. 

 Si l'on donne à n des valeurs supérieures, on obtient des courbes et sur- 

 faces anallagmatiques qui, croyons-nous, n'ont pas encore été considérées. 



» On sait (*) que toute courbe ou surface anallagmatique peut être 

 considérée comme l'enveloppe d'une série de cercles ou de sphères cou- 

 pant orthogonalement le cercle ou la sphère d'inversion et dont le centre 

 décrit luie courbe ou «une surface qu'on appelle la déférente (-). Il est 

 facile de voir, en considérant le lieu du milieu de la corde qui joint deux 

 points correspondants de l'anallagmatique, lieu qui est de degré n et qui 

 a un point multiple d'ordre n — i à l'origine, que la déférente, dans le 

 cas général que nous traitons, est une courbe ou une surface de classe 

 n — I, admettant la droite ou le plan de l'infini pour tangente ou plan tan- 

 gent multiple d'ordre ii — 7. : c'est luie réciproque d'unicursale. On en 

 conclut facilement son degré, et l'on a les théorèmes suivants : 



» Théorè.iie III. — La courbe déférente de l'anallagmatique de degré Ti 

 à point multiple d'ordre n — 2 est une courbe de classe n — i tangente ?i — 2 

 fois à la droite de l'infini, possédant en général 2 (« — 3) (« — 4) points 

 doubles et 3 (« — 3) points de rebroussemenl, et de degré i{n — 2) (^). 



» On a, par exemple, pour n = 4> 'a quartique à trois rebroussements. 



)) Théorème IV. — La surface déférente de l'anallagmatique de degré n 

 à point multiple d ordre n — 2. est une surface de classe n — i , tangente n — 2 

 fois au plan de l'infni, et de degré [n — 2) (3« — 7). 



M Le cône de degré [71 — i) (« — 2) circonscrit de l'origine à la surlace 

 déférente est le cône réciproque du cône de degré n — i tangent à l'origine 

 à la surface lieu des milieux. » 



(') MoDTARD, Sur la transformation par rayons vecteurs réciproques [Bulletin de la 

 Société Philomathique de Paris, juin 1864, p. 66). 



(') De la Gournerie, ibid., p. 87. 



(') Cette détermination concorde avec les théorèmes de M. de la Gonrnerie [ibid., p. Sg 

 et 4o), d'après lesquels le degré d'une courbe anallagmatique est égal au double de la 

 classe de la déférente diminué du nombre des contacts à l'inûni et de deux fois le nombre 

 des inflexions à l'infini. A la suite de ces théorèmes, M. de la Gournerie annonce qu'il y a 

 une seconde anallagmatique du quatrième degré dont la déférente est de troisième classe 

 avec une inflexion à l'infini [parabole cubique). C'est le cas particulier de notre anallagma- 

 tique du quatrième degré oij, le point double dégénérant en rebroussement, les deux contacts 

 de la déférente à l'infini viennent à coïncider. 



