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THÉORIE DES NOMBRES. — Méthode nouvelle pour la décomposition des nombres 

 en sommes quadratiques binaires; application à i Analyse indéterminée. Note 



de M. E. DE JONQCIÈKES. 



« I. Gaiiss, dans le Chapitre V des Disquisiliones, après avoir établi les 

 conditions de l'équivalence des formes binaires au second degré, aborde et 

 résout le problème général de la représentation d'un nombre donné par une 

 forme déterminée. Cette solution, préparée par un certain nombre de propo- 

 sitions préliminaires, fait plus particulièrement l'objet des n**** 180 et 205 

 de ce Chapitre célèbre. 



» Ayant eu occasion d'étudier ce problème, j'ai reconnu qu'on en pou- 

 vait trouvei' dans bien des cas une solution nouvelle, en faisant dépendre 

 la recherche des représentations du nombre N de celle des décompositions 

 de son carré N". Pour y parvenir, il était nécessaire : 



» 1° De découvrir des formules permettant de décomposer N* dans 

 tous les cas où cette décomposition est possible; 



» i" De trouver la loi, s'il en existait une, liant ensemble les repr'ésen- 

 tations de N avec celles de N^, et des formules simples permettent de passer 

 sans tâtonnement des unes aux autres. 



» Dans VU! premier Mémoire, inséré aux Notw. Ann. de Math., t. XYIT, 

 2" série, j'ai résolu ces deux questions pour le cas des formes binaires les 

 plus simples u^ -4- v-. Cette première élude contient, entre autres résultats: 



» 1° Deux formules fondamentales (§ IV) permettant d'écrire immédia- 

 tement toutes les décompositions du carré d'un nombre donné N en une 

 sonnne de deux carrés premiers entre eux, lorsque le nombre lui-même est 

 susceptible de subir ime décomposition de cette sorte et que sa l'ésolution 

 en facteurs premiers est connue ; 



» 2° La démonstration (§ VII) d'une loi de correspondance ou de réci- 

 procité, qui lie entre elles, chacune à chacune, les décompositions propres 

 ilont il s'agit avec celles du nombre N lui-même, et qui permet de déduire 

 celles-ci des premières pir \\n*i simple addition ou soustraction de deux 

 nombres entiers, etc., etc. 



» II. Moyennant une légère modification dans les coefficients, les for- 

 mules précitées servent à décomposer les nombres N^ et N en sonnnes 

 quadratiques de la forme ur -^- t.v'-, t étant un nombre rationnel, positif ou 

 négatif. Plusieurs des propositions, et notamment la loi de réciprocité dont 



