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je viens de parler, subsistent clans les conditions précitées. Je suppose tou- 

 jours que le nombre donné est résolu en ses facteurs premiers. Il faut d'ail- 

 leurs, pour que le nombreNsoit décomposable de la sorte,que tous ces flic- 

 teurs (à moins qu'un certain nombre d'entre eux ne fassent un carré par- 

 fait) soient des diviseurs quadratiques de la forme donnée, ou au moins des 

 diviseurs linéaires satisfaisant à certaines conditions, quant à leiu- nombre 

 et à la valeur, paire ou impaire, de l'exposant avec lequel chacun d'eux 

 entre dans la composition de N. J'ajoute que, s'il y en a parmi eux qui 

 soient des diviseurs linéaires sans être diviseurs quadratiques, il faudra, 

 pour appliquer la méthode, commencer par les rendre tels, ce qui est tou- 

 jours possible, en nudiipliant chacun d'eux par un facteur auxiliaire. (Voir 

 Théorie des nombres. II* Partie, § 186. 



1) Que le nombre N satisfasse de lui-même à cette condition essentielle, ou 

 qu'il ait élé transformé provisoirement en un autre nombre ]S'= aN par 

 l'adjonction de ces facteurs auxiliaires, on effectuera immédiatement la 

 décomposition X-4-^.Y- de son carré IN" (ou, dans le deuxième cas, 

 de «"N^) par les formules suivantes : 



(A) 



X = U„{a- - th-) - 2-t l[U,{ab) U„_,{n- - t/r)] 



^^Y -^ 2l[U,{ab)n„_,{a' - tb')]- 2Ul[U,{ab)U„_,{a' - tb')] 

 ^' -^ 2'r-l[U.Jab)U„^,[a- - tb')] - ... 



» Si l'on effectue ensuite et successivement, sur les termes individuels 

 qui entrent dans les expressions de X et de Y, les changements de signe 

 prescrits au § V du Mémoire précité, on obtiendra toutes les autres dé- 

 compositions propres du carré soumis au calcul, dont le nombre est, en 

 totalité, a"'; mais, si l'on a dû recourir à des facteurs auxiliaires, dont 

 le produit soit «, afin de pouvoir faire usage des formules (A), c'est-à-dire 

 si l'on a opéré la décomposition préalable du carré a-N-, un certain nombre 

 des solutions ainsi obtenues seront étrangères à la question, soit que leurs 

 composants respectifs X et Y n'aient pas de facteur commun, soit qn'ds 

 en aient un autre que «. Ces solutions étrangères devront être écartées, 

 comme ne répondant pas à ce qui est demandé, les seules admissibles 

 étant celles dans lesquelles les composants auront la forme aX, ccY, avec 

 le produit a pour facteur comnuui. Il sera donc aisé de les reconnaître, et 



