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chacune d'elles donnera une décomposition propre de W, savoir 



Quel que soit le nombre des décompositions propres de N, elles sont, 

 dans tous les cas, de la forme N = j:^ + tj-, et on les déduit de celles de 

 N^ par les formules très-simples 



(B) x^ = 



dans lesquelles le nombre X doit entrer avec le signe que la formule (A) 

 lui a atlribué. 



» Forcé d'abréger, je laisse de côté pour le moment l'examen des cas où 

 t est fractionnaire ou négatif, me bornant à dire que, dans ce dernier cas, 

 la méthode fait connaître les valeurs initiales ou, en moindres nombres, 

 des indéterminées, desquelles on en déduit ensuite une infinité d'autres. 

 Quelle que soit la valeur de t, des opérations très-simples font passer des 

 représentations de N" et de N, dans la forme n- -+- U>- , aux représenta- 

 tions de ces mêmes nombres dans celles des formes à trois termes 



associées ou équivalentes à la première, qui sont compatibles avec la na- 

 ture de N, relativement au nombre de ses facteurs premiers et à leur forme. 

 (Voir Théorie des nombres, §§ II et X, IP Partie.) 



» III. En résumé, la loi de réciprocité qui lie entre elles les décompo- 

 sitions propres deN^ avec celles de N fournit, moyennant le concours né- 

 cessaire des formules (A) et (B) et sans autre recherche préalable que celle 

 des facteurs premiers de N et, si le cas l'exige, de quelques multiplicateurs 

 auxiliaires destinés à disparaître du résultat, une solution très-simple du 

 problème de Gauss, du moins dans des cas très-étendus. Enfin, comme je 

 vais le njontrer, elle sert de base à une méthode pour la résolution, en 

 nombres entiers quand celle-ci est possible, et dans tous les cas en nombres 

 rationnels, des équations indéterminées du second degré 



j = X- -\- tir , j- = 2- -h tv-, 



avec les conditions u = x -\~ a, v= z±: /3. 



C. R., 187S, 2' Semestre. (T. LWXVII, N" II.) 54 



