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intégrées sous le signe / au premier ou au second membre, en faisant 

 $ = -k une limite supérieure a = o, à une limite inférieure. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la résolution en nombres entiers 

 de réqualion (i) ax^ +- h)'-'^ = cz'. 



Note de M. Desboves. 



« Dans le cas où rt et c sont égaux à l'unité, si l'on désigne par {x,j, z) 

 une première solution de l'équation (i), on trouve, par la méthode de 

 Fermât, qu'une autre solution (X, Y, Z) est donnée par les formules sui- 

 vantes, que l'on doit à Lebesgue ; 



(2) X=:2^* — zS Y = 2XXZ, Z = z* -h^bxy*. 



)) Ces formules ne paraissent pas, d'ailleurs, pouvoir être étendues au 

 cas où « et c sont des nombres entiers quelconques. Mais la méthode de 

 Fermât, convenablement appliquée, conduit, quels que soient a, b, c, aux 

 formules suivantes, qui sont nouvelles : 



( X, =-- ^ (4«=^^ - ^c'z'), Y, = j(4è^-y - 5cH'), 



^^' j Z,=z[c'z^ + 2liab{cH' -2abx'x')]' 



)) Ces formules se distinguent, comme on le voit, de celles de Lebesgue, 

 en ce que les nouvelles valeurs X,, Y,,Z| sont respectivement multiples 

 de X, f, z. Elles peuvent d'ailleurs, comme les formules de Lebesgue, s'é- 

 tendre au cas où l'équation (i) contiendrait un terme en x-/-. 



x> En rapprochant ce qiû précède des résultats que j'ai indiqués dans 

 mes précédentes Communications, on est conduit au théorème suivant : 



» Lorsque, a et c étant égaux à l'unité, b est de lajorme u-v[2u-{-i') ou de 

 l'une des formes dérivées [v- ± 2?r)i', {2U-hv*)u-, f* ± iir, [v- — u-)u-, 

 — u-{u^ -h i>-), ±v- — u\ — u'^\>-{u^ — v-y, on peut toujours obtenir 

 une première solution de Nquation (i) au moyen d'une identité; puis on peut 

 calculer une infinité d'autres solutions à t'aide des formules (2) et (3). 



» On pourra voir, en particulier, que les solutions obtenues par 

 M. Lucas, dans son ouvrage sur Léonard de Pise, au moyen de formules 



