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ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la forme des intégrales des équations diffé- 

 rentielles du second ordre dans le voisinage de certains points critiques. 

 Note de M. É. Picard. 



« MM. Briot et Bouquet ont étudié [Journ. de C Ecole Poljt., t. XXI) la 

 forme des intégrales des équations différentielles du premier ordre, quand 

 le coefficient différentiel devient indéterminé. On peut se proposer une 

 question analogue pour les équations différentielles du second ordre. 



» Soit z-^=f[u,u',z), en posant -=»', une équation différentielle 

 du second ordre. Supposons que le second membre s'annule pour 



z = o, u=i a., n' ~ ^, 



et soit une fonction uniforme et continue de m, u' et z dans le voisinage 

 de ces valeurs. Cherchons la forme des intégrales de cette équation, qui 

 prennent la valeur a, et dont la dérivée soit égale à jS pour z = o. 



B En posant n = a -h- v, a' = ^ -h v\ j [u-i "', z) devient une fonction 

 9 [y y v' ^z\ que l'on peut développer de la manière suivante : 



0(1», t'',z) = av + hv' + cz -^ . .., 



et nous avons à considérer le système d'équations 



(.) ^-''' + P. 



» Si le coefficient b n'est pas un nombre entier positif, ces équations 

 admettront un système d'intégrales s'annulant tontes deux pour z =- o, et 

 holomorphes dans le voisinage de ce point. En admettant qu'il existe un 

 tel système d'intégrales, on peut trouver les valeurs des dérivées de v et de 

 v' pour z = o, par des dérivations successives des équations (i) et (2). On 

 peut donc former les séries procédant suivant les puissances croissantes 

 de z, qui doivent représenter ces intégrales. Il faut prouver d'abord que 

 les séries ainsi formées sont convergentes. Nous considérons à cet effet les 

 équations 



V ='^{v,v\z)., i' = (t'' + P)z, 



