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 qui, dans le cas où h n'est pas un entier positif, définissent deux fonctions 

 V et v de z, s'annulant pour z = o, et holomorphes dans le voisinage de ce 

 point. Si l'on compare la suite des dérivées de ces fonctions avec celle des 

 dérivées précédemment calculées, en suivant la marche employée par 

 MM. Briot et Bouquet (Mémoire cité), on reconnaît que les séries formées 

 comme nous l'avons indiqué sont convergentes. On voit ensuite aisément 

 qu'elles satisfont aux équations (i) et (2). 



« c, et v\ désignant les intégrales holomorphes, remplaçons v et v' par 

 Vf 4- V, et ('', + 1''; les équations deviendront 



'ti'' , , ,„ dv 



S -7- = rtff H- Oi' -t- f t» - + . . . , — := l' , 

 (Iz az 



les termes suivant bv' étant au moins du secoud degré, relativement à 

 V, i>' et z. 



» Je dis maintenant que, si i a sa partie réelle positive, ces équations 

 admettent une infinité d'intégrales non holomorphes. Supposons d'abord 

 la partie réelle de b plus grande que l'unité; posons 



nous aurons 



3 -;- — a/. -h c'u.-z''-' ^ . .., 



(4) zp^ = ix--l{b-\-i). 



Soient X» et p.^ deux quantités vérifiant la relation p-^ — X(,(Z' + i) = o. 

 Les équations (3) et (4) admettront un système d'intégrales prenant les 

 valeurs de Xq f t u-o pour s = o. Pour démontrer ce point important, re- 

 marqtions qu'on peut regarder le second membre de l'équation (3) comme 

 une fonction holomorphe des quatre quantités >., p., z et z' (en posant 

 é— f = b'); nous la désignerons par F(X,fJL, z, z*'). Considérons mainte- 

 nant les deux équations aux dérivées partielles 



z et y sont les deux variables indépendantes. 



» Ces deux équations admettront un système d'intégrales X et p., pre- 

 nant les valeurs X„ et fjio pour z= o, 7 = o, et holomorphes dans le voi- 



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