( ti4« ) 

 » En désignant par U"':,+, le coefficient de a" dans ce développement (4), 



le tliéorèine de Rolle, étemlii par M. Liouville aux racines imaginaires des 

 éqnalions {Journal de Matliémaiiciues pures et appliquées, 2" série, t. IX, 

 p. 84), montre que l'équation 11^'^+, = o a. toutes ses racines imaginaires, 



inégales et comprises dans l'intérieur d'un cercle de rayon égal à c. 



» Trois fonctions consécutives du développement (4), dans lequel l reste 

 constant, satisfont à la relation 



2 7. ^ 



où l'on a fait disparaître le signe imaginaire /, et laquelle montre que ces 

 fonctions ne remplissent pas l'office des fonctions de Sturm, comme cela 

 a lieu pour les polynômes qui naissent du premier développement. 

 « Au moyen de l'intégration par parties, on obtient 



£ 



^u";/+,u'"',,^,^P'=o, 



tant que y est différent de «. Pour v = n, on trouve, en se servant de la 

 relation (5) et en ayant égard au théorème précédent. 



Cr^'^ 



— 2 : ^ * • 



2 « + 2 / + I i .i.'i. . .n 



» Enfin, une même fonction U^"^^^ et ses deux premières dérivées satis- 



7. 



font à l'équation différentielle linéaire et du second ordre 



(f' + x-)j"+ 2(1 + \)xr' — n{n + 2/ -h i)j = o, 

 dont l'intégrale générale est 



A et B étant deux constantes arbitraires. » 



