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 >) Appliquons cette proposition en nous rappelant qui les arcs décrits 

 parles points symétriques sont égaux. 



» Le foyer/ nous donne deux équations de la forme 



{n) - {a,' =E(A-), 



E, E' désignant des arcs d'ellipse de même module A; le foyer/' donne 

 de même les équations 



(n)-(rt,)-E(A'), 

 {a,)~-{a,) = E'{k'). 



Enfin le foyer/" nous donnera 



(<7o) + 1^2' =E'(A") 



ou, en remplaçant les arcs {b.,), [b^) par leurs symétriques, 



(«3)+(«,) = E(A"j, 

 («,) + («) =E'(A-"). 



» On déduit de ces six équations 



2(rt) -=E(A) + E(A-')H- E(A"), 



ce qui démontre le théorème. 



)) Les équations précédentes donnent aussi 



(„) + (rtj_(a,)-(rt,)=^E(/0-E'(/t) = E(A-V-E'(A-')-^E'(r)-^E(A";. 



ce qui prouve que la somme 



[n) + {a,) — {a,] —{n,), 



formée avec les arcs décrits par les quatre points a, rt,, a,, a^, est algé- 

 brique. 



» Dans une prochaine Communication je montrerai, si l'Académie veut 

 bien le permettre, que tout arc d'une des courbes planes appelées quar- 

 tùjucs bicirculaires par les géomètres anglais, ou d'une courbe gauche 

 intersection d'une sphère et d'une surface du second degré, est une somme 

 d'intégrales elliptiques des trois espèces. » 



