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ALGÈBRE. — Deuxième Note sur la résolution en nombres entiers de l'équation (i ) 

 ax" + bj'' ~ CZ-; par M. Desboves. 



« On démontre d'abord assez facilement que, si (.r, /, z) désigne une 

 solution de l'équation (i), on obtient toujours une solution [x,, y,, z,) de 

 l'équation 



(2) x^ H- abc" y'' -■= z^, 

 à l'aide des formules 



(3) X, =^- sax' — CZ-. j-, r= 2xj'z, z, -- c'z'' -+- liax''(cz- -■ ax'' ' 



» Si l'on suppose maintenant que le produit (a -f- b)c soit égal à un 

 carré e-, l'équation (2) peut s'écrire 



x'' -h ac[é- •- ac)Y'' = s", 



ou encore, en posant ac = «, e = c, 



(4) x" -^ u{v' - u) y' =z z^ . 



De là, on conclut que l'équation (i) peut toujours être résolue en nombres 

 entiers lorsque, « et c étant égaux à l'unité, b est de la forme ii[v- — u). 

 Ce résultat pouvait d'ailleurs se déduire de l'identité (4) donnée dans les 

 Comptes rendus du 22 juillet; car, en y changeant d'abord y en y — .r, 

 puis x"^ en x, on a, après avoir remplacé les lettres x et / par u et v, 

 l'identité 



(5) ['iu — v'-y 4- u{v" — u) X (2f)' — {v'' — [\u^ -r- l\uv-f. 



On déduit, d'ailleurs, de la forme u[v- — u), toutes les formes que j'ai 

 déjà fait connaître. En particulier, si l'on veut obtenir la forme de b qui 

 conduit aux nombres congruents par rapport à deux carrés, il suffit de 

 remplacer, dans l'identité (5), v- par 2pq, et 211 par [p + q)- , car alors b 

 est do la forme — p'q'[p' — T >' • 



» Il résulte, de ce qui précède, que les formules générales, qui ré- 

 solvent l'équation (i) dans le cas où le produit [a -r- b)c est un carré e-, 



