( 599 ) 

 prennent une grande importance. Voici quelles sont ces formules, qui sont 

 assez simples en introduisant deux variables auxiliaires s et t. 



» Premier système : 



s = e{ax^ -\- by^) — [ax -F bf)cz, 

 t = {ax -r- hj)- H- '5nb{x — jf — [a ~\- b)ez, 

 X -^ les — ctx, 

 Y = 2es — ctj, 

 Z=-- [i{a-^b)es- -~ l^{ax + bj)cst + c-t^'z. 



n Second système : 



s = 2(rtx-' +- by^ f - 3(rtj:^ 4- hj-)c7? -\- ecz^, 



t = {ax H- b)'-)cz — e{ax^ -+■ by"^), 

 X = c{s + itxz), 

 Y = c{s ^ -ityz), 



Z == c[e^- + l\{ax^ -f- èj')j/ -t- [^ct-z"]. 



» Comme les signes de x, y, z, e sont arbitraires, les formules précé- 

 dentes donnent huit solutions correspondant à une solution {x,y, z) de 

 l'équation (i). On a encore une neuvième solution, donnée par les for- 

 mules (3) de la première Note, et une dixième solution, s'il s'agit de l'é- 

 quation (4), à l'aide des formules de Lebesgue alors applicables. 



» Dans les exemples numériques que j'ai traités jusqu'ici, le nombre 

 des solutions correspondant à une solution {x,y,z) de l'équation (i) a tou- 

 jours été inférieur aux nombres précédents, parce que l'on trouvait 

 plusieurs fois la même solution ou une solution déjà connue. En doit-il 

 être de même dans tous les exemples? C'est là une question difBcile, que je 

 ne suis pas en mesure de résoudre. Je ne puis pas non plus affirmer que 

 les nouvelles formules et celles de Lebesgue ou une partie d'entre elles 

 donnent la solution complète du problème. D'ailleurs, jusqu'à présent, 

 malgré des affirmations souvent contraires, aucun géomètre n'a jamais pu 

 prouver, en toute rigueur, que ses formules donnaient la solution com- 

 plète, en nombres entiers, d'une équation à trois variables d'un degré 

 supérieur au second ('). 



>) Nota. — J'ajouterai ici, pour les personnes qui voudraient retrouver 

 les formules précédentes, que le calcul indiqué dans ma première Note se 



(') La troisième équation du système (3) [Comptes rendus du ■; octobre) doit être rec- 

 tifiée ainsi : 



Z, -- z\yz<' -h 24 fli. >.■'.> '{c';< — 2a6j:*j'!]- 



