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 ces courbes d'être anallagmaliqiies par rapport à quatre cercles (dont l'un 

 se réduit à l'axe de symétrie). Je me propose de montrer aujourd'hui que 

 ma méthode peut se générahser, et qu'appliquée soit aux quarliques bicir- 

 culaires, soit aux courbes d'intersection d'une sphère et d'une surface du 

 second degré, elle conduit à la rectification de ces courbes et montre que 

 leurs arcs sont des sommes d'intégrales elliptiques. 



» Considérons une courbe plane ou sphérique, anallagmatique par rap- 

 port à une sphère de centre O, dont nous désignerons le rayon par R. 

 Soient M, M' deux points de la courbe, inverses ou réciproques par rapport 

 à cette sphère, et soit P le point réciproque par rapport à la même sphère 

 du point-milieu du segment ^IM'. Quand le point M décrit un arc de la 

 courbe, les points M' et P décrivent des arcs que nous appellerons corres- 

 pondants au premier arc. Ces définitions étant admises, on a le théorème 

 suivant : 



» La somme [si J{- est négatif) ou la différence (5/ R- est positif) de deux arcs 

 correspondants de l' anallagmatique est égale à l'intégrale 



A = / ^^^_^_ ], , v'i^" {'^■x'' -)- df- -I- dz-) — [xdy ~ ydx)- — {jdz — zdjf - {zdx - xdz,- 



étendue à l'arc correspondant de la courbe décrite par le point P ; x, j\ z 

 désignant les coordonnées du point P par rapport à trois axes rectangulaires 

 ayant leur origine en O. 



» Supposons maintenant qu'une courbe plane ou sphérique soit anal- 

 lagmaticjue par rapport à quatre sphères deux à deux orthogonales entre 

 elles et orthogonales au plan ou à la sphère qui contient la courbe. Le 

 raisonnement employé dans ma première Communication montrera que 

 l'arc décrit par un point de cette courbe est égal à la somme de deux, trois 

 ou quatre intégrales semblables à l'intégrale A. La détermination de l'arc 

 sera donc ramenée à celle de ces intégrales. 



» Dans le cas des courbes du quatrième ordre que nous avons définies 

 plus haut, les courbes lieux des pointsP, et auxquelles se rapportent les inté- 

 grales A, sont des coniques. Servons-nous de la propriété de ces courbes 

 d'être unicursa les et remplaçons dans l'intégrale x,/,z |)ar leurs expressions 

 rationnelles en fonction d'un paramètre t. Nous reconnaîtrons ainsi que 

 les intégrales A ne contiennent qu'un radical du quatrième degré. Il est 

 donc démontré que l'arc des courbes considérées est une somme d'inté- 

 grales elliptiques. 



