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 » On peut obtenir la même proposition en employant le système de 

 coordonnées curvilignes que j'ai étudié dans mon ouvrage Sur une classe 

 remarquable de courbes el de surfaces algébriques. L'expression de l'arc des 

 courbes du quatrième ordre considérées se présente sous la forme 



ds - ' VP -^'''^ 



' ^\J(?~-a)[f-b){p-c)[p-d)' 



où M a pour valeur 



M = ks!p~a h B v'p - A -i C v> - c -. D y/p - d, 



A, B, .. . étant des constantes quelconques. Si l'on multiplie les deux ternies 

 de la fraction qui exprime ds par les sept expressions que l'on obtient en 

 changeant dans M, de toutes les manières possibles, le signe des trois der- 

 niers radicaux, ds prendra la forme 



^l^ _ P y/p^^ ^p -I- . ■ ■ + S \f{f^a ) ( p - <!- ) ( p -7) rfp H- . . . ^ 

 ^(p_„)(p_6)(p-c)(p-^J(p-p,) 



où p, s sont des fonctions rationnelles de p, les termes non écrits au numé- 

 rateur se déduisant de ceux qui y figurent par des permutations effectuées 

 sur a, b, c, d. On voit donc que l'arc de la courbe est une somme d'inté- 

 grales elliptiques, telles que 



L 



Pdp 



^/(p_6)(p-c){p-rf)(p_p,) 

 et d'intégrales trigonométriques 



S dp 



I 



\/{p — d){p—p,) 



ce qui confirme le résultat obtenu par notre première méthode. 



» On voit qu'il y a des intégrales elliptiques de quatre modules diffé- 

 rents; mais on établira aisément que deux des modules seulement sont 

 arbitraires, les deux autres étant des fonctions des deux jn-emiers. Du reste, 

 le nombre de ces modules peut se réduire lorsque les constantes A,B, C, D 

 cessent d'être toutes différentes de zéro, 



» Il est juste de rappeler, en terminant, les beaux travaux de M. Serret 



