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 tend vers une limite qui est — — ; donc 



hmn'-r^',,^^^, {fi = co). 



» D'après cela, si l'on revient à la série (i) et si l'on se souvient que, 

 dans cette série, on a 



lim 7i '"''«„ = A, (// =1 co ), 



on voit que le rapport — des termes de même rang, dans les deux séries, 



tend vers une limite qui est Ar(/)). Soit k un nombre plus grand que cette 

 limite AT{p); il existe un nombre entier m tel que, pour 7i = m et pour 



toute valeur de ii plus grande que m, le rapport - " soit inférieur à A-, de 



sorte que 



et enfin 



l,„{x) désignant la somme de la série (2) moins la somme des }?i premiers 

 termes. De même, si l'on appelle h un nombre plus petit que AT{p), il 

 existera un nombre m' tel que 



S,„-(.r) >hl,„.{a-); 



par conséquent, en supposant, par exemple, que m soit le plus grand des 

 deux nombres finis m et ni', 



hl,„{x) < S,„(x) < kl,„{oc). 



)) En multipliant tous les termes par (i —ocY, nous avons 



//(! - x'/'ljx-)<[i - x)PS,„[x-Xk{\ - ocYl,„[x). 



» Si maintenant on fait tendre x vers i par des valems inférieures à 

 l'unité, le produit (i — x)''l,„{x) tend vers i, car, d'après la définition de 

 l{x), on a (i — jr)''2(jr) — i ; donc, quand .r tend vers l'unité, le produit 

 (i — a)''S,„(.r) et, par suite, le produit (i — x'fSlx) conservent une valeur 

 finie comprise entre h et A. Comme les nombres h et A sont aussi rap- 

 prochés qu'on le veut du nombre AT{p), le produit (i — x^S^x) a une 

 limite qui est Ar(^). 



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