( G44 ) 



» Nous nous proposons de montrer dans cette Note que, en regard des 

 calculs faciles, mais déjà très-considérables, qu'exigerait la seule résolution 

 numérique d'une involution du quatrième degré^ une analyse intuitive mène 

 en un moment à l'indication d'un ensemble de constructions simples, 

 propres à la résolution effective du problème. 



» 2. Soient (ABCD),,5_3_5,5 cinq faisceaux quaternaires eu involution, ou 

 liés par l'identité normale 



(i) 2JX,A,B,C,D, =o. 



Il s'agit de déterminer le vingtième rayon Djau moyen des dix-neuf autres, 

 supposés connus ; ou, si l'on veut, de trouver la dépendance générale qui 

 existe entre les deux derniers rayons C5, D5, regardés comme simultané- 

 ment variables. 



» Pour cela, les rayons A,, B,, C,-, D, de chacun des cinq faisceaux con- 

 sidérés étant associés deux à deux d'une manière quelconque s'ils sont 

 tous réels, ou par rayons conjugués s'ils sont imaginaires, désignons par 

 P,- et Q, les droites toujours réelles, qui réunissent les traces des rayons 

 aèsociés A/ et B,-, Q et D,, sur une conique auxiliaire quelconque S menée pai 

 l'origine. 



» Si T = o désigne la tangente de cette courbe à l'origine, on aura iden- 

 tiquement 



S EE^ A,- B, - P, T, S = C, D, - Q,T ; 



et l'on en conclura 



A,B,C,D,= (S + P,T) (S -f- Q,T )b=S' + ST (P, + Q,) 4- T= P,Q,. 

 Portant tontes ces valeurs dans l'identité ( i ), on aura d'abord 



(1') S'I^l, +ST2p,,(P, -t-Q,)+T^2?X,P,Q, = o. 



Mais le facteur linéaire T étant ici partout, sauf dans le premier terme qui 

 ne peut pas le contenir, l'identité exige que ce premier terme disparaisse. 

 On a donc 1] 1, = o. Or, le premier terme supprimé, l'identité qui reste 

 se dédouble, d'une manière évidente, dans les deux qui suivent : 



T = 2^X.P,Q, et S = 2?>.,P,Q,, 



dont la première ne nous apprend rien, tandis que la seconde 



(i") S = 2p.,P,Q. 



nous mène aussitôt à la construction que nous avions en vue. 



