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 » 3. Posons, en effet, l'identité auxiliaire 



(2) S = I', Q, +MN, 



où M et N désignent des droites, réelles et connues immédiatement, si l'un 

 au moins des quatre faisceaux (ABCD), o 3 ,1, que nous regardons comme 

 entièrement connus, est composé de rayons réels. 



» La comparaison des deux dernières formules entraîne l'identité 



(3) M1N + ^^X', P,Q, ^o 



ou la conclusion que les six couples de droites MN, P, Q,,. . ., P5Q5 sont 

 conjugués à une même conique. 



» 4. Considérons, dès lors, la conique S' définie par les cinq couples de 

 droites conjuguées connues 



(S') MN, P,Q,, ■.., I\Q.,. 



Ou déterminera, par une construction connue, le pùK' oj de la droite 

 P5 par ra|)port à cette conique; et l'on aura, dans ce pôle, un point de la 

 corde Qs détachée, de la conique initiale S, par les deux derniers rayons 

 C5 et Dj regardés comme seuls variables. 



» 5. Le problème est donc résolu ; et il admet une ou deux solutions, 

 suivant la nature de la condition descriptive imposée aux rayons C^ et D5 

 qui doivent fermer l'involution. 



» 6. Si comme conique auxiliaire on prend un cercle, la seule identité 



(i") s=2::>,p,Q,, 



où s désigne actuellement le cercle auxiliaire, fournit une détermination 

 effective beaucoup plus rapide du pôle fixe sur lequel tourne la seule droite 

 variable ou inconnue Q5, qui figure au second membre. Les propriétés 

 évidentes des cercles contenus dans la forme 2"X| P, Q, = o, où ?i = 3, 4, 5, 

 donnent aussitôt toute la construction. 



» 7. Dans ce qui précède, les rayons variables C5 etDj engendraient une 

 involulion du second degré. I/iuvolution générale de degré n possède la 

 même propriété, et, si l'on conçoit une involution du w'™'' degré, com- 

 posée de 7i faisceaux fixes d'ordre ;?, F,, F-,, . . ., F,;, et d'un dernier fais- 

 ceau du même ordre {(p'^/), que l'on regardera comme composé de ^ rayons 

 fixes (ç) et de v rayons variables (i{;), la somme p. -h- v étant égale à «, cesv 

 rajons variables {^), détachés de la sorte d'une involulion initiale du 7/'"'"' 

 degré, engendreront une involulion nouvelle de degré v. 



