( 690 ) 



santés d'une variable réelle .r 



(l) S{jc) = U^ -i- U,X ->r U2X- -{-... + U„X" -\- . . , 



dans laquelle le coefficient u„ reste positif pour les valeurs de n supérieures 

 à un nombre déterminé. Je suppose que le produit n'~''n„. où p désigne 

 un nombre positif quelconque, tend vers une limite A différente de zéro 

 quand n croît indéfiniment. Une pareille série est convergente pour toutes 

 les valeurs de jc plus petites que l'unité; elle est divergente si l'on attribue 

 à X la valeur i. La somme S(.r) de cette série est une fonction de jc qui 

 est finie et continue tant que x est plus petit que r, et qui croit indéfini- 

 ment quand x tend vers r. Je me propose de montrer que le produit 



(i — x)''S{x) 



tend vers la limite Ar(^) quand x lend vers l'unité par des valeurs infé- 

 rieures à I. 



» Je remarque d'abord que, pour démontrer ce théorème, je puis né- 

 gliger au commencement de la série un nombre fini quelconque de termes; 

 car, lorsque x tend vers i, la somme de ces termes en nombre fini reste 

 finie, et le produit de cette somme par (i — xY tend vers zéro. Par suite, 

 en désignant par S,„(x) la somme de la série S(a:i moins la somme des 

 m premiers termes, si l'un des deux produits 



{i-x)PS(x), {i-'X)PS,„{x) 



a une limite, l'autre en a une aussi, et ces deux limites sont égaies. 

 » Cela posé, je considère la série 



I .2 



Je désigne par i'„x" le terme général de cette série, de façon que 



p{p-hl).. .(p-i-n — i)^ 



d'où l'on déduit 



I .2. . ./2 



> 



„.-.„ = P±p + ^]...{p+n-^_^,_^_ 



« I^orsque n croît indéfiniment, le deuxième membre de cette égalité 



