( 875) 

 Si, ei)fin, nous multiplions les deux membres de l'équation précédente 

 parle facteur a:^"' (i — jt)^"*''^"^, nous pourrons écrire cette équation 



(5) dUx-'{i—.xf+'>-f^' = n{^ — a-n)xf''{i - x)"'+P-TfFF„r/x. 



Cela posé, intégrons les deux membres de cette éqnation entre les limites 

 o et I , en tenant compte des conditions (3). Comme la fonction 



(6) U^Vi — xf+P'^+' 



s'annule pour jt :^ o, l'intégrale définie (i) est égale à la valeur que prend 



r/F dF 



cette fonction pour .r m i. Des quatre fonctions F, F„, y-r -y^ • à l'aide 

 desquelles est composée la quantité U(4), les deux premières, F (j:) et 

 F„(a:) prennent pour x ^= i des valeurs finies, à savoir, 



Y(j^ ^ r(y)r{y-:>.-|?l p f,^ ^ r(y)r(v-a-p) 



^ ■' r i -/ — a ) r I y — fi i " "^ ' r r/ — y— n ] n y — p -h n] 



et les deux dernières, —5 -r-^S croissent an delà de toute limite quand x 



ti.c ax ' 



tend vers l'unité; mais le produit de chacune de ces deux fonctions par le 

 facteur (i — x)'^^P~i'+' tend vers une limite finie quand x tend vers l'unité. 

 On a, en effet, 



^^ii^^' = ^PF(a + ,,i3+.,7 + i,x); 



et, d'après une Note précédente ( ' ), le produit 



(i — a:)"-^P-'+' F(«-^ I, [3 + I, 7+ r, x) 



tend vers la limite — ^ — quand x tend vers i . Donc 



r i a + I ) r ( p -h I ) ^ 



pour x — I : de même 



^ ' lU- r ( a 4- /2 1 r ( p — n ) 



pour X = \. Les calculs précédents permettent d'exprimer, à l'aide delà 



(') Comptes rendus,^ novembre, p. 692. 



116 



