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» Dans le Mémoire que j'ai l'honneur de soumettre aujourd'hui à l'Aca- 

 démie, je traite seulement le développement de la fonction e' "', où F(x) dé- 

 signe un polynôme entier d'un degré quelconque m. 



» 2. Soit ^^ une réduite de e'''^',y„(j:) et ({>n{x) étant deux polynômes 



du degré n; j'ai montré que/„(x) est une solution d'une équation différen- 

 tielle linéaire de la forme 



où 0„(x) et îi„{x) désignent des polynômes entiers ayant respectivement 

 pour degré (m — i) et 2(m — i). 



» Le problème à résoudre consiste à déterminer les coefficients des 

 polynômes ©«(x) et H„(x), ou plutôt à trouver les relations qui lient entre 

 eux les coefficients des divers polynômes @„{x), 0„_|(j:), ..., ll„[x], 

 H„_i(.r), ..., de façon à pouvoir en déterminer la valeur par voie récur- 

 rente. 



» A cet effet, en posant, pour abréger, 



R ^ r^ + ^"('^l _ lUfl'V -|_ 1 .+- Ilifl-^ ^ e'-(.^) ^ jMfl , 



\_x 20„(j:) 2 J .r-" 9. dx 2e„(x) J0„(.r) 



\_ X ~^ ■?.&n~\[^-] 2 J X- 2 dx 2 @a~i [■'<'] X(da^i[x] 



puis 



R-I-S=G, R — S = R et A==0„(x)e„_,(.r), 



je remarque que, en désignant par^ une constante convenablement choisie, 

 l'expression rationnelle 



4PA + 2G + ---.- 



est un carré parfait; de plus, Çï étant la valeur de sa racine carrée, on a 

 identiquement 



identité qui exige tout d'abord que l'intégrale / — r^ ne renferme pas de 



J V^ 

 partie transcendante. 



» De là découlent les relations cherchées entre les coefficients des poly- 

 nômes 0,„ ©„_,, ..., H„, H„_,, .... 



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