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» 3. Comme application de la théorie générale, faisons F (.r) = x--f lax. 

 Dans ce cas,f„[x) satisfait à une équation de la forme 



/"— (— H ' ^x— aa) r'— (a/i -h -" 4 ^) r = o, 



et le problème à résoudre consiste à déterminer, en fonction de a et de n, 

 les coefficients a„, P„ etQ„, 

 » En posant, pour abréger, 



(2) Q„ + - — «„ — «=^B et Q„_, -4- ^^^ - a„_, — rt = G, 

 l'identité (i) donne les relations suivantes : 



/ov P„ /i I \ Ba„_, + Ca„ 



(3) — — n—n\ 1 5 



(4 B H , ; H ■ — («« + Cl)- + n-[— ^ = o, 



(5) G- H -. r H («„_, + fl)=+«M-^ H =0. 



«n-ll»n — «n-l ! a„ — a„_, ^ ' \a„'-, 9-n«;,-J 



» IV. La solution du problème est maintenant ramenée à une question 

 d'Algèbre élémentaire. Si, en effet, entre les équations (4) et (5), ou éli- 

 mine successivement B et G, on obtiendra deux équations du quatrième 

 degré auxquelles satisfont respectivement ces quantités et qui sont de la 

 forme 



(6) $(B, «„, a„_,,H) = o 

 et 



(7) ' $, (G, «,„«„_,, n)= o. 



Si maintenant on observe que B se déduit de G par le changement de n 

 en [n ^- 1), de l'équation (7) on déduira une nouvelle équation 



(8) $, (B, a„+,, «„, n + i)—o. 



» En écrivant que les équations (6) et (8) ont une solution commune, 

 on obtiendra une relation entre les trois quantités consécutives a„^_,, a„ 

 et a„_, qui permettra de calculer par voie récurrente les coefficients a„. La 

 valeur de la racine commune donnera B, puis G par le changement de « 

 en (n — i); ces calculs effectués, les formules (2) et (3) détermineront P„ 

 et Q„. » 



