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» Je suis heureux que vous appeliez l'attention sur les questions parais- 

 sant douteuses qui ont été soulevées, et, si plus tard vous me demandiez 

 quelques autres explications relatives à ces observations, je me ferais un 

 plaisir de vous fournir toutes les informations que je puis posséder. 



» Je vous envoie aussi aujourd'hui dans une autre enveloppe quelques 

 papiers imprimés relatifs à ces observations. » 



GÉOMÉTKlE. — Sur le développement des surfaces dont l'élément linéaire est 

 exprimable par une fonction tiomogène. Note de M. Maurice Lévy. 



« On connaît l'élégant théorème de Bour sur le développement héli- 

 coïdal des surfaces de révolution. Je vais d'abord en donner l'énoncé sous 

 une forme un peu différente de celle qu'on lui donne habituellement. 



» Soit ds^ = lif {:r —j) dx (iy le carré de l'élément linéaire d'une surface 

 applicable sur une surface de révolution. Si l'on pose J? = logx', j-= log/', 

 ds^ sera luie fonction homogène, de degré — 2 des nouvelles variables 

 a', y, et il est facile de montrer que, réciproquement, si le ds- d'une surface 

 est susceptible d'être mis sous la forme 



(i) ds- ~ \dx^- -r 2Bdxdj -h Cdj- , 



A, B, C étant trois fonctions homogènes de degré — 2, cette surface est 

 applicable sur une surface de révolution. 



» D'après cela, si l'on cherchait à étudier a priori toutes les surfaces 

 dont le carré de l'élément linéaire est exprimable par une fonction homo- 

 gène du degré particulier — 2, on serait conduit à un premier type remar- 

 quable de ces surfaces, à savoir : les surfaces de révolution; puis à un se- 

 cond type également remarquable par la simplicité de sa définition 

 géométrique et comprenant le précédent comme cas particulier, à savoir : 

 les moulures hélicoïdales. Dans l'équation générale de ce dernier type 

 entrent une fonction et une constante arbitraires. 



» D'après cela, le théorème de Bour peut s'énoncer ainsi : Etant donnée 

 une surface quelconque dont l'élément linéaire est exprimable par une fonction 

 homogène du degré j)arlicuUer — 2, il existe une série de moulures hélicoïdales 

 renfermant deux constantes arbitraires toutes applicables sur cette surface et, 

 par suite, applicables les unes sur les autres. 



» Proposons-nous de suivre une marche analogue pour l'étude des sur- 

 faces dont l'élément linéaire est exprimable par une fonction homogène de 



