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 degré quelconque autre que — i , et qui, par suite, ne sont pas applicables 

 sur une surface de révolution. 



» Supposons le ds- d'une surface donné sous la forme (i), A, B, C étant 

 trois fouet ions homogènes d'un degré quelconque [Ji. Si l'on posej::=a3(.r',^'), 

 ^- = i|; (x', j'), -p et 'b étant deux fonctions homogènes de degré arbitraire a, 

 il est clair que le ds" sera encore une fonction homogène des nouvelles va- 

 riables x' ,y, et le degré de cette nouvelle fonction sera fj.' = « (p, + 2) — 2, 

 de sorte qu'on pourra toujours disposer de a de façon que ce degré [x! soit 

 un nombre arbitrairement donné, par exemple zéro, excepfe lorsque le degré 

 primitif est |u, = — 2, auquel cas le degré nouveau serahii-mcme ^u.' = — 2, 

 quel que soit le degré a de la transformation. 



n Les surfaces dont le ds" est de degré — 2 se distinguent donc immédia- 

 tement de toutes les autres, en ce que ce degré est incommiitable par le 

 mode de transformation indiqué. Comme nous savons que ces surfaces sont 

 cellesapplicablessur une surface de révolution, et celles-là seulement, nous 

 ne nous en occuperons pas, et alors nous pourrons toujours, sans dnni- 

 nuer la généralité du problème posé, supposer le degré p. =■- o. 



)) Cela posé, essayons de trouver une classe de ces surfaces, d'une défi- 

 nition géométrique simple, pouvant jouer dans leur développement le rôle 

 que jouent les moulures hélicoïdales dans le développement des tmfaces 

 de révolution, ce qui exige que leur équation comprenne, comme celle des 

 moulûtes, une fonction et une constante arbitraires. Les surfaces que nous 

 allons définir remplissent ces conditions. 



» Concevons que, dans un plan, on trace une droite fixe OZ et une 

 courbe arbitraire. Imaginons que le plan tourne autour de l'axe OZ pen- 

 dant que la courbe se déforme en restant constamment homothétique à 

 elle-même relativement au point O, ses dimensions homologues croissant 

 en progression géométrique, pendant que les angles dont tourne le |)lan 

 croissent en progression arithmétique. On engendrera ainsi une surfnce 

 que, pour abréger le langage, nous appellerons luie pseudo- moulure loga- 

 rithmique. 



» Il est aisé de voir que, si r et z sont les distances d'un point de la 

 surface à l'axe Os et à un plan perpendiculaire à cet axe mené par le 

 point O, et Q l'angle dont tourne le plan mobile, son équation est 



nQ 



(7) -4- logs == 9 {n) -h- logz = © 4- \ogz, 



en posant, pour abréger, - — u. Cette équation contient donc une fonction 

 arbitraire ç et une constante arbitraire n. 



G. R., 1S7S, 2" Semestre. (T. LXXWll, iN"21.) Io5 



