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 duile au premier degré par rapport à cette dérivée, tout en conservant, par 

 rapport à la fonction, la forme rationnelle. Cette propriété appartient à 

 beaucoup d'autres équations, comme je vais le montrer. 



» Soit une équation entre la variable x, la fonction 7 et sa dérivée/'. 

 Supposons que, d'une manière quelconque, on puisse remplacer cette 

 équation unique par le système explicite suivant, où ^, vj sont de nou- 

 velles variables : 



(i) a-=:H(|,-/3), j = i'{'£,-n), 7' = îv(|,-/3). 



S'il en est ainsi, on peut substituer à l'équation différentielle proposée 

 celle-ci : 



du i/i'\ lin 

 • . — 1 — 



dn d/ij de 



du dv 



qui est linéaire par rapport à la dérivée de la fonction inconnue ïj. Cette 

 équation étant intégrée, la proposée le sera du même coup. 



» La réduction demandée est ainsi ramenée à un problème de pure 

 Algèbre. Ce problème se résout, à son tour, dans bien des cas, au moyen 

 des notions nouvelles dont la Géométrie s'est enrichie. 



» Considérons or, j,/' comme les coordonnées d'un point de l'espace, 

 et l'équation proposée comme celle d'une surface. Si les fonctions «, v, w 

 sont rationnelles en yj, c'est qu'alors, | étant supposée constante, la courbe 

 (i) est unicursale. De là cette proposition : 



» Si la surface représenlée par l'équalion différentielle, oii x,y,y sont cen- 

 sées les coordonnées d'un point, contient une série de courbes unicursales, l'équa- 

 tion peut être réduite au premier degré par rapport à la dérivée de la fonction 

 inconnue, sans cesser d'être rationnelle par rapport à la fonction inconnue elle- 

 même. 



» En second lieu, si u,v,w sont rationnelles aussi par rapport à |, la 

 surface peut, comme on dit, être représentée sur le plan. Donc : 



» Si la surface peut être représentée sur le plan, l'équation différentielle est 

 réductible au jjremier degré par rapport à la dérivée de la fonction inconnue, 

 sans cesser de conserver la forme rationnelle par rapport à la fonction inconnue 

 et ù la variable indépendante. 



» La première de ces propositions résout immédiatement le cas envi- 

 sagé par M. Alexéeff. Il s'agit, en effet, d'une équation du deuxième degré 



