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 en J,y' . La surface contient donc une série de coniques, dont une quel- 

 conque s'obtient quand on donne à x une valeur constante. Les coniques 

 étant des courbes iniicursales, la réduction peut s'effectuer, et d'une infi- 

 nité de manières. Si l'on détermine individuellement les points de la co- 

 ni(jue par des parallèles à une des asymptotes, on est conduit à des calculs 

 semblables à ceux de M. Alexéeff. Il y a cependant lieu à une observa- 

 tion : la méthode suivie par ce géomètre entraîne à introduire une qua- 

 drature préalable qui, en réalité, est superflue. Si l'on détermine indivi- 

 duellement les points de la conique au moyen de sécantes issues d'un point 

 fixe quelconque de cette courbe, la fonction irrationnelle de jc qui s'in- 

 troduit est la valeur particulière de /', répondant, d'après l'équation, à 

 une valeur arbitrairement choisie de j. Dans certains cas, on pourra 

 choisir cette valeur de j-'de telle sorte que la valeur correspondante de y 

 soit rationnelle. La transformation s'opérera alors sans que la forme ra- 

 tionnelle en X disparaisse. Si l'équation proposée est 



A j'- + Bjj' + Cj- -t- Dj' + Ej + F = o, 



cette circonstance se présente notamment quand une quelconque des 

 quantités B" — 4AC, D" — 4A-F, E- — 4CF est le carré d'une fonction ra- 

 tionnelle de X. 



» Parmi les conséquences de la deuxième proposition, citons celle-ci : 

 Une équation différenlielle du troisième degré en x,j,y' peut être réduite au 

 premier degré enj-', tout en restant rationnelle en x,y. Car, on le sait, toute 

 surface du troisième degré peut être représentée sur le plan. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la forme des intégrales des équations diffé- 

 rentielles du second ordre dans le voisinage de certains points critiques. JNote 

 de M. E. Picard. 



7 f 



« Étant donnée l'équation différentielle du second ordre z '— =/((', i'', z), 



en posant ^ = ^'')/('% ^' i ~) s'annulant pour p = o, p' = o, z = o et étant 

 dans le voisinage de ces valeurs développable en une série de la forme 



av + hv' + cz + . . . , 



nous avons montré [Comptes rendus, i6 septembre 1878) que, si b n'est pas 



