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 un entier positif, celle équation admet une intégrale holomorphe dans le 

 voisinage de z = o, s'annulant ainsi que sa dérivée pour cette valeur de z. 

 De plus, si la partie réelle du coefficient h est positive, nous avons vu éga- 

 lement que cettejéquation admet une infinité d'intégrales non holomorphes, 

 s'annulant, ainsi que leur dérivée, pour c = o. 



» Examinons maintenant le cas où la partie réelle de h est négative. 

 L'équation n'admettra alors aucune intégrale jouissant des propriétés pré- 

 cédentes, f et y désignant l'intégrale holomorphe et sa dérivée, si l'on 

 remplace v et v par/ + v et/' -\- c', l'équation prendra la forme 



(i) z'^^ = nv-\-bK>' -\-..., 



le second membre ne contenant pas de termes indépendants à la fois de c 

 et de v' . Supposons d'abord qu'il n'y ait pas de termes indépendants de v' . 

 On pourra suivre dans ce cas la méthode employée par MM. Briot et Bou- 

 quet dans un cas analogue. 

 » L'équation peut s'écrire 



ou 



-7-(l + at» + ■ . . = l> h ^-^^-^1 + ai' + ...)dz. 



I' ^ ' z z ^ 



» Remarquons que, Z tendant vers zéro, "^ ' 'j '' tendra vers une limite, 



car - tend vers zéro en même temps que z. Si l'équation admet une inté- 

 grale le long d'une certaine courbe, on aura, en désignant par i<\ la valeur 

 de v' en un point z, de cette courbe et intégrant sur celle-ci depuis le point z, 

 jusqu'au point z, 



logîr = log(^_^y+£. 



» £ étant une quantité finie et même très-petite, si z et z, sont suffisam- 

 ment voisins de l'origine, nous la représenterons par log (i + yj). 



» Il viendra alors — = (- ) (i + vj). 



» Quand z tend vers zéro, le module du premier membre tend vers zéro, 

 tandis que celui du second augmente indéfiniment, la partie réelle de h 



