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 étant supposée négative. L'hypothèse qu'il existe uue intégrale remplissant 

 les conditions indiquées est donc inadmissible. 



» La remarque suivante permet de ramener le cas général au cas parti- 

 culier que nous venons de traiter. Désignons par ç(«, z) une fonction ho- 

 lomorphe de m et z dans le voisinage de m =: o, z = o, et s'annulant pour 



ces valeurs, mais supposons que ( — )„=oSoit différent de zéro. On peut 

 choisir une fonction (p remplissant ces conditions de telle manière que, si 

 l'on fait le changement de variable i)=:(f[u, z), Téquation différentielle 

 déterminant u ait la forme (a). Cette équation n'admettra donc pas d'in- 

 tégrale s'annulant, ainsi que sa dérivée, pour z = o; il en sera, par suite, de 

 même |)our l'équation donnée. 



» Dans le cas où la partie réelle de è est positive, les considérations précé- 

 dentes montrent que v doit être de degré b ; on en conclut sans peine qu'il 

 n'y a pas d'autres fonctions satisfaisant à l'équation (i) et remplissant les 

 conditions requises que celles qui ont été indiquées dans notre première 

 Note. 



n Revenons à l'équation 



"7?^=^>'^(*''"'^')' 



en supposant que b soit un entier positif. Nous examinerons seulement le 

 cas où b est égal à l'unité. 



» Si c est égal à zéro, l'équation admet une infinité d'intégrales holo- 

 morphes. Posons, en effet, v — ).z-, i>' = fjt,z. Nous aurons à considérer les 

 équations 



rla. . (IX 



» Si Xo et p-o vérifient la relation p.o — 2X0 = o, ces équations admettent 

 un système d'intégrales holomorphes prenant les valeurs ).o etp-o pour r = o. 

 Dans le cas où c n'est pas nul, nous posons 



v' = cz{ii.+ logz), 

 et les équations deviennent 



élu a\ /lo" : 



-y — h rt 



(Iz 2 



C. R. 187S. j- Semestre. (T. I.XXXVII, N» 20.) 99 



