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 » Le carré de l'élément linéaire de la surface est d'ailleurs 



(2) ds"-= (^i -^'îl^\dr' + l^cp'{i-fu)rirdz-^-ïi ^^|(i - (p'u)^'jdz', 



expression homogène et de degré zéro relativement aux deux variables 

 ;• et z. 



» Maintenant, je dis qu'on a ce théorème : 



» Etant donnée une sitrjace dont l'élément linéaire est exprimable par une 

 fonction homogène d'un degré quelconque autre que — 2, il existe une série de 

 pseudo-moulures logarithmiques, avec deux constantes arbitraires, toutes appli- 

 cables sur celte surface et, par suite, applicables les imes sur les autres. 



» En effet, soit donnée pour ds- une expression homogène (i) que nous 

 pouvons toujours supposer de degré zéro. Posons j?--sX, y = zY, 



X et Y étant deux fonctions indéterminées du rapport - = u. Si l'on tire de 



là les valeurs de dx et de dy, qu'on les porte dans (i) et qu'on identifie 

 avec (2), il viendra, après quelques transformations simples, 



AX'=-f- 2BX'Y' + CY'^ = 1 + '■^, 



n' 

 3) ^A (-2B- l-C^ = 2u{ -^], 



^ ' j cm (lu ttu \ If I 



AX-+ 2BXY + CY-= i + fi + ^^ 



» Ces trois équations pourront toujours être satisfaites en choisissant 

 convenablement les trois fonctions indéterminées X, Y et 9' qui y entrent; 



y Y 



A, B, G sont trois fonctions données du rapport - ou de son égal —, en sorte 



que la dernière équation a ceci de remarquable qu'elle est en termes 

 finis entre X et Y. Il résuite de là, et de ce que la fonction y n'entre que 

 par sa dérivée 9', que l'intégration de ces équations simultanées se ramène 

 immédiatement à celle d'une seule équation différentielle ordinaire du pre- 

 mier ordre entre deux variables; la fonction ç' se trouvera donc déter- 

 minée avec une constante arbitraire en sus de celle n qui entre déjà dans 

 les équations; «p sera ensuite donné par une quadrature qui introduira une 

 nouvelle constante, qu'on peut supposer nulle. (3n aura donc, comme 

 nous l'avons annoncé, une série de pseudo-moulures logarithmiques avec 

 deux constantes arbitraires, toutes applicables sur la surface dont l'élément 

 linéaire est donné par l'équation (1). 



