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» Ce qui est absolument démontré, c'est qu'il existe les 124 covariants 

 irréductibles indiqués par cette table. Ce qui est assujetti au doute mé- 

 taphysique dont j'ai fréquemment parlé, c'est la possibilité de l'existence 

 d'autres irréductibles en dehors de la Table. Si le cas est ainsi, il sera en 

 contradiction avec le poslulalum qu'il ne faut jamais supposer l'existence de 

 plus de rapports sjzygétiques entre les irréductibles qu'il n'est nécessaire 

 pour satisfaire aux valeurs connues du nombre total des covariants 

 linéairement indépendants pour chaque degré et ordre, on, ce qui revient 

 à la même chose, que des covariants irréductibles et des syzygies indé- 

 composables ne peuvent pas coexister pour le même ordre et degré. En 

 faisant l'énumération des invariants de tous les degrés jusqu'à 20, on trou- 

 vera facilement que, selon ce principe, on n'avait pas le droit d'admettre 

 préalablement l'existence d'un invariant irréductible du degré 20. C'est 

 pour la première fois, dans tous les cas si nombreux que j'ai discutés, que 

 cette difficulté s'est présentée, c'est-à-dire l'impossibilité de trouver une 

 fraction canonique avec un numérateur fini, équivalente à la fraction 

 réduite. Mais les résultats que j'obtiens ne sont nullement moins certains, à 

 cause de cette difficulté que j'ai trouvé le moyen sûr et commode de 

 vaincre. Les détails du calcul seront donnés dans nne prochaine partie de 

 V American journal of Matliematics. 



1) Je terminerai ici par une observation qui me paraît très-significative : 

 c'est qu'il résulte du calcul qui a été fait que l'effet du tamisage est préci- 

 sément le même que si l'on avait multiplié le numérateur de la forme 

 réduite par i + a'" au lieu de le diviser par i — «'", de sorte qu'on aurait 

 pu agir précisément comme si l'invariant irréductible du degré 20 existait ; 

 seulement, au bout du compte, on aurait exclu cet invariant de la Table 

 des formes irréductibles. 



» Quant à ce qui se rapporte au tamisage que j'ai appliqué aux séries 

 simplement infinies, il est bon de se rappeler que l'usage qu'on fait de 

 la fraction génératrice (pour un quantic binaire) mise sous une forme 

 canonique n'est qu'une méthode abrégée, et pour ainsi dire artificielle, 

 pour obtenir le même résultat qu'on pourrait obtenir, mais avec beau- 

 coup plus de difficulté, en opérant directement le tamisage sur la série 

 de nombres, doublement infinie, qu'on obtient en développant cette 

 fraction en série de puissances de a et x, de laquelle série les coefficients 

 représenteront le nombre des covariants linéairement indépendants pour 

 chaque degré et chaque ordre, de zéro jusqu'à l'infini. Cette remarque 

 fait voir aussi que la distinction entre les irréductibles primaires et secon- 



