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 » Comme toute expression de u en y, z, qui satisfait à (i), renrl le pre- 

 mier membre de (2) ime difl'érentielle exacte, l'intégration de (2), qui 

 s'effectue immédiatement, donne l'équation du contour de la section pour 

 laquelle u est ainsi exprimé. Les expressions de u de forme entière en j\ z 

 fournissent ainsi une infinité de contours continus de sections de prismes 

 ou cylindres dont la torsion est déterminable d'une manière exacte. Mais 

 il faut, quand la section est un rectangle, prendre pour m uup expression 

 transcendante telle que 



(3) u = Byz -h 2(Ae"'^ + .Ve-'"^'){co&mz ou sinwz), 



dont les constantes m, B, A, A' se déterminent par une méthode connue, 

 de manière à satisfaire à (2) sur les quatre côtés du rectangle. 



» J'ai remarqué aussi, alors, qu'en faisant usage de coordonnées po- 

 laires /', jS, telles qu'on ait comme à l'ordinaire 



(4) / = rcos|3, z=rsin|3, 

 ce qui change les (i) et (2) en 



(5) 

 (6) 

 on a une solution générale de la forme 



( 7 ) u^-l{Ai ■"' -[- A , r-'" )s\nin^+l{A' r'"' -h A', r-'"' ) cos /«' p , 



si l'équation du contour des sections a la forme corrélative 



(h) ^ = -l{\r"' - A,/-"')cos«2|3 f l(\'i^"' - A',/-'"'; ^min'fi, 



ce qui donne une plus grande variété de contours que les solutions entières 

 en y, z, car les exposants m, m' peuvent être pris fractionnaires et même 

 irrationnels. 



» 2. Clebsch a remarqué, en 1862, qu'on obtient une variété de con- 

 tours plus grande encore en se servant des coortionnées curvilignes iso- 

 thermes orthogonales de Lamé ; et MM. Thomson et Tait, dans leiubeau 

 livre J Trcatiseof nalurnl Pliilosoplty, 1867, ont indiqué, sans le développer, 

 leur emploi pour ('tendre les solutions telles que (3),relativesaux rectangles 



