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 rectilignes, à des contours rectangulaires mixtilignes se composant d'un 

 arc de cercle ou de deux arcs concentriques et des deux rayons qui les li- 

 mitent, « ce qui est », disent-ils, « très-intéressant en diéorie et d'une 

 » réelle utilité en Mécanique pratique ->. 



» Il m'a paru que la solution relative à ces sortes de sections pouvait 

 être obtenue d'une manière simple et directe, sans substituer préalablement 

 une certaine inconnue auxiliaire à l'inconnue géométrique a, et eu s'en te- 

 nant aux coordonnées polaires ordinaires /', /3. 



» 3. Soit, en effet, y l'angle au centre des deux côtés en arc de cercle; 

 soient /■„ et /■, > r^ leurs rayons, /le rayon vecteur d'un point quelconque 

 de la figure ; enfin /3 l'angle positif ou négatif que fait /-avec la médiane bis- 

 sectrice des arcs. L'équation (6) relative au contour se décomposera en 



(y) 6;= = — ^sur les côtKS rectilignes, où c/p — o, (i = zh-' quel que soit rentre /„ et r„ 



( lo ) — ^ i:^ o sur les rôtés en arc, où dr = o, / =^ /„ on i\, quel que soit p entre et -• 



^ dr 2 2 



» Vu le terme en /'- de la condition (9), il devra y en avoir un aussi en r^ 

 dans l'intégrale de forme ( 7). Mettons-le hors des sommes indéfinies 2, ou 

 ajoutons un terme spécial /-(iJsin 2|^ + IJ'cosajS) à l'expression (7), puis 

 mettons cette expression pour ii dans l'équation (9) 5;-= — — eu la spé- 

 cifiant pour [j ^ -h- '^et p =: — -; nous aurons deux équations qui, succes- 

 sivement retranchées l'une de l'autre et ajoutées l'une à l'autre, en don- 

 neront, à leur place, deux nouvelles qu'on satisfera eu prenant 



(11) B':^-o, A'^o, A', -r^o, et B 



cos m 



7 



2 cos y 2 



en sorte que l'expression de a se réduit, n étant tout nombre entier de 

 o à oo , à 



fiol K -"_:. '- -r > A/-'" + Air"'") sin/«B, ou m = ir. 



\ ' 2 C0S7 ^j 7 



>) Pour satisfaire aussi à (10), différentions (12) en /', et égalons à zéro 

 après avoir fait successivement /• — /„ et r = ;-, . Nous aurons deux équa- 

 tions dans chacune desquelles nous réduirons le 2 à un seul terme par le 

 procédé connu d'élimination, qui se pratique en multipliant les deux meiii- 



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