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GÉOMÉTRIE. — Sur les figures isocèles. Mémoire de M. A. Badourea«. 



(Extrait par l'auteur.) 



(Commissaires : MM. Chasles, Bertrand, Daubrée, Friedel). 



« Je désigne sous le nom de polyèdres isocèles des polyèdres formés par 

 des polygones réguliers, convexes ou étoiles, et tels qu'on puisse les faire coïn- 

 cider avec eux-mêmes ou avec leurs symétriques, en plaçant un sommet sur 

 n'importe quel autre; je comprends également dans cette définition les 

 assemblages ou réseaux plans qui ne sont autres que des polyèdres d'une 

 infinité de faces. Je désigne par m,, l'angle au sommet d'un polygone régu- 

 lier de m côtés et d'espèce x, et en particulier par co un angle de i8o de- 

 grés. Je désigne un angle polyèdre par les formules de ses faces, en affec- 

 tant d'exposants celles des faces qui sont répétées plusieurs fois. La formule 

 ainsi obtenue sert de définition à l'angle polyèdre et au polyèdre isocèle 

 correspondant. 



» I. Poljèdres isocèles convexes. — Les quinze polyèdres isocèles con- 

 vexes ont été étudiés en 1862 par M. Catalan, sous le nom de polyèdres 

 semi-réguliers du premier genre, mais ils avaient été, dès 1808, énumérés 

 par Lidonne sous le nom de solides cCJrchimède. J'ai cru devoir substi- 

 tuer le mot iVisocèles à celui de semi-réguliers, parce que ce dernier mot 

 a été employé en i8Z|8 par Babinet et Cauchy pour désigner des polyèdres 

 d'une tout autre nature. J'ai pu simplifier la théorie des polyèdres isocèles 

 convexes, au moyen de considérations empruntées soit à la Géométrie élé- 

 mentaire, soit à la Cristallographie, soit aux notions introduites dans la 

 science par Bravais et développées par M. Jordan. A ce point de vue, les 

 polyèdres convexes réguliers et isocèles peuvent être classés de la manière 

 suivante : 



.. 1° Trois polyèdres ont une symétrie prismatique; 



» 2° Deux polyèdres ont une symétrie tétraédrique; 



I) 3'' Sept polyèdres présentent la symétrie complète du cube; 



» 4° Un polyèdre présente la symétrie des dérivés plagièdres du cube : 

 c'est le polyèdre 3^ 4 ; 



» 5° Sept polyèdres présentent la symétrie complète du dodécaèdre 

 régulier; 



„ 6° Un polyèdre présente la symétrie des dérivés plagièdres du dodé- 

 caèdre régidier : c'est le polyèdre 3^5. 



» On sait que la pyrite de fer se présente souvent sous la forme {é% qui 



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