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 diffère très-peu d'un dodécaèdre régulier, et sous la forme a' ^è*, qui diffère 

 très-peu d'un icosaèdre régulier. Ce même corps se présente aussi sous la 



forme Prt' ^\b' b^ b^j , qui ne diffère guère du triaconta-ocUièdre isocèle 3*4 

 que par le mode d'hémiédrie. Ce rapprochement n'est peut-être pas sans 

 intérêt, au point de vue de la tendance de la nature à approcher des formes 

 régulières qu'elle ne peut pas atteindre. 



» II. assemblages isocèles convexes. — J'appelle ainsi la figure obtenue 

 en découpant un plan en polygones réguliers convexes, sans vide ni dupli- 

 cature, et de façon qu'on puisse superposer la figure à elle-même en plaçant 

 un sommet sur n'importe quel autre. 



» Un collaborateur anonyme des Annales de Gergonne a signalé, en i8ig, 

 l'existence de trois assemblages réguliers et de trois assemblages semi- 

 réguliers ou isocèles. 



» Les assemblages convexes réguliers et isocèles peuvent être classés 

 de la manière suivante : 



» 1° Trois assemblages possèdent une symétrie linéaire; 



» 2° Un assemblage possède une symétrie quadrangulaire; 



» 3° Deux assemblages possèdent une symétrie carrée; 



» 4° Un assemblage possède une symétrie carrée hémiédrique; 



» 5° Six assemblages possèdent une symétrie hexagonale. 



» III. Poljèdres isocèles éloilés, — M. Bertrand a fait connaître, pour 

 construire les polyèdres réguliers étoiles, un procédé plus simple que celui 

 de Poinsot; pour découvrir les polyèdres isocèles étoiles, j'ai eu recours 

 au théorème de M. Bertrand, en le généralisant de la manière suivante ; 



» 1° Les sommets d'un polyèdre isocèle étoile A appartiennent à un 

 polyèdre convexe X; 



» 2° Les angles polyèdres de X sont égaux ou symétriques; 

 • » 3° Le polyèdre X possède les mêmes axes de symétrie qu'un polyèdre 

 isocèle convexe Y; 



» 4" Si la face M du polyèdre X est perpendiculaire à un axe de symétrie 

 d'ordre m, le polygone M est régulier. 



» \j espèce d'tui polyèdre régulier étoile est le nombre de fois que sa 

 projection conique sur une sphère concentrique recouvre la surface de 

 cette sphère. MM. Rouché et de Comberousse ont signalé, à cet égard, 

 l'inexactitude de la formule employée par Poinsot. J'ai dû généraliser leur 

 formule, pour la rendre applicable aux polyèdres isocèles. Pour obtenir 

 rcspéce G de l'angle polyèdre, il faut projeter sur la sphère les angles qui 

 le constituent, faire hi somme de ces projections et la diviser par quatre 



