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angles droits. Les projections, sur la sphère, des faces de l'angle polyèdre 

 doivent toutes être décrites dans le même sens : elles varient d'ailleurs 

 entre zéro et quatre angles droits. La projection a sur la sphère d'une face 

 du polyèdre doit être considérée comme construite soit sur la plus petite, 

 soit sur la plus grande des deux calottes sphériques déterminées par son 

 plan, suivant que le centre est à l'intérieur ou à l'extérieur du polyèdre 

 par rapport à la face considérée. L'espèce E du polyèdre est le quotient 

 de ^rt par la surface de la sphère. Si le polyèdre a S sommets d'espèce a, 

 F faces de n côtés et d'espèce y, F' faces de n' côtés et d'espèce y', enfin 

 A arêtes, on a 



aA — ln¥, 



A + 2E = c7S + 2yF. 



» Les polyèdres étoiles réguliers et isocèles peuvent être classés de la 

 manière suivante : 



M 1° Qf/fl/re polyèdres possèdent une symétrie prismatique; 



» 2° 0/)ze polyèdres possèdent une symétrie cubique; 



1) 3" Trente polyèdres possèdent une symétrie pentagonale; 



» 4° Un dernier polyèdre possède une symétrie pentagonale hémié- 

 drique. 



» Dans le Mémoire détaillé que j'ai l'honneur de soumettre à l'examen 

 de l'Académie, tous ces polyèdres sont étudiés et classés au point de vue 

 de leur espèce, de leur/on?ie et de leur mode de construction. 



» IV. Assemblages isocèles étoiles. — Les assemblages isocèles étoiles 

 se déduisent des assemblages convexes, de la même manière que les 

 polyèdres étoiles des polyèdres convexes. Les figures auxquelles ils 

 donnent lieu pourraient bien avoir été connues des géomètres arabes, si 

 l'on en juge par leur analogie avec les dessins dont l'art oriental aime à 

 orner ses créations. Au point de vue de la symétrie, ces assemblages se 

 partagent en deux groupes : 



» 1° Six d'entre eux se rattachent à l'assemblage régulier carré; 



» a" Les treize autres se rattachent à l'assemblage régulier hexagonal. 



)) En terminant, je ferai remarquer que le problème, que je me suis ef- 

 forcé de résoudre, est intimement lié à la théorie du Réseau pentacjonal, car 

 il ne diffère pas, au fond, de la question suivante : 



» Recouvrir la surface d'une sphère ou d'un plan, par un le'seau de poly- 

 gones réguliers, disposés de la même manière autour de chacun des sommets. » 



