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 dans laquelle le signe 2 s'étend à toutes les racines de l'équation généra- 

 trice, et où ^al") représente un polynôme correspondant à la racine a, 

 entier en n, et du degré a — i. 



» Dire que «„ est connu, c'est dire que l'on connaît toutes les racines 

 a, h, c, ... de l'équation génératrice, ainsi que leurs degrés respectifs de 

 multiplicité a, |3, -y, ... et les polynômes correspondants (pa{)i), <?b[''i)i 



cpci")', Ce sont là les données de la question, en fonction desquelles il 



fallait exprimer la somme cherchée S. 



)■ Pour y parvenir, j'ai suivi une méthode simple, que j'exposerai ailleurs 

 avec tous les détails nécessaires. Quant à la valeur que j'ai obtenue pour S, 

 on a 



S=S, 4- S., 

 si l'on pose à la fois 



s,=yy 



Z^' , , , 



a.r a'.J. n'.f 



^^ [/' — 1 — t]lcl ll'.l' \\ 2 ■ t 



L(i — ax), 



■n, 



-n 



I — t\[l\ a'x' 



en indiquant par L un logariîhme népérien et convenant d'étendre, dans 

 chacune de ces deux égalités, le premier 2 à toutes les racines de l'équa- 

 tion génératrice. 



» Cette expression de S résout complètement le problème que je m'étais 

 proposé. Elle prend une forme indéterminée lorsque x s'annule, mais celte 

 indétermination n'est qu'apparente : l'entier n^ en effet, étant toujours su- 

 périeur à zéro, il est clair que la série considérée s'annule en même temps 

 que X. 



» On voit, sur les formules qui précèdent, que la somme cherchée S se 

 compose d'une prt^mière partie S,, purement algébrique, et d'une seconde 

 partie So, à la fois algébrique et logarithmique. La première n'est qu'un 

 polynôme entier en - et, par rapport à -) du degré /9 — 2. La seconde est 

 la somme des quantités L(i — ax), L(i — hx'), L(i — ex), ..., multipliées 



■ 1 A . I . I , 



respectivement par des polynômes entiers en - et, par rapport a -? du 



degré p — i . La première disparaît dans le cas où ^ est égal à l'unité. La 

 seconde ne disparaît jamais, même partiellement-, en d'autres termes, Sj fi- 

 gure toujours dans S et y présente toujours les logarithmes correspondant 

 à toutes les racines de l'équation génératrice. 



