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 » Les formules qui précèdent permettent de sommer toutes les séries 

 convergentes, en nombre infini, dont le terme général est de la forme con- 

 sidérée. Elles permettent encore d'en sommer une infinité d'autres, puisque, 

 à l'aide des racines imaginaires de l'unité, on sait déduire de la somme 

 d'une série donnée celles de Joutes les séries qu'on obtient en prenant, 

 dans la proposée, les termes de deux en deux, de trois en trois, etc. » 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur i éliminaiion . Note de M. P. Mansion, 

 présentée par M. Cli. Hermite. 



« 1. Si l'on a deux équations algébriques de degré m,n [tUyii), on 

 trouve assez aisément les conditions suffisantes pour qu'elles aient p racines 

 communes (p^n), comme l'ont montré MM. Lemonnier, Darboux et 

 Rouché; mais il est plus difficile d'établir que ces conditions sont néces- 

 saires. Nous nous proposons, dans la présente Note, de simplifier la dé- 

 monstration donnée par ces géomètres de la suffisance de ces conditions, et 

 surtout de prouver, par une méthode nouvelle, aussi simple que naturelle, 

 qu'elles sont nécessaires. Pour abréger les écritures, nous nous bornons à 

 deux équations, respectivement du 5* et du 4" degré : 



A = Ax = a„ -f- rt, j: 4- . . , H- a^x^ = o, 



B = Ba: 



b,x 



-+- h.x'' = o. 



» 2. Principe 1. — D'après la théorie des équations linéaires, si 



c,, . . 



r = 



Cm 



■ih 



Chk 



{k>h^ 



c'est-à-dire si tous les déterminants formés en prenant h colonnes du ta- 

 bleau rectangulaire sont nuls, il existe une même i dation linéaire 



L = X, C|, H- X2Co,+ ... + 1^1=. o 



entre les éléments de chaque colonne. 



)) 3. Principe II. — Soient a, [i, y, ... des racines d'une équation algé- 

 brique : 



C — Cx= Co-h c,x -h Cna-^+ c^x^ -+- c^x'' -h c^x'^ = o. 



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