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 d'après une proposition connue, on^a 



ou, en vertu de (2), 



| = ^log(x-'e„e---). 



» D'où il suit quey„ satisfait à une équation différentielle du second 

 ordre, de la forme 



(3) r~(ï+S:-F)y-H«j = o, 



H„ désignant une fonction rationnelle de x dont le dénominateur est connu, 

 le numérateur étant d'un degré déterminé. 



» 3. Dans un assez grand nombre de cas (ce sont les plus simples et par 

 cela même les plus intéressants), les fonctions rationnelles 0„ et H„ se dé- 

 terminent immédiatement et le problème est complètement résolu. 



» Dans le cas général où cette détermination est plus difficile, on peut 

 employer la méthode suivante pour trouver entre les coefficients des fonc- 

 tions 0„, H„, ©„_,, H„_,, ... des relations qui permettent de les obtenir 

 par voie récurrente. 



» Considérons l'équation 



M j" - Nj -4- P = o, 



à laquelle satisfait^^ et dont la solution la plus générale est donnée par la 

 formule 



où A et B désignent deux constantes arbitraires; puis l'équation 



Mott"-N,«'+P„ = o, 



à laquelle satisfaity„_, et dont la solution la plus générale est donnée par 

 la formule 



A„y„_, -^ M9n-^e-^""' -JJ<^e-s^'^-); 



cela posé, formons l'équation différentielle linéaire et du quatrième ordre 

 à laquelle satisfait la fonction 



• z = uy. 



